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Theorem cvmopnlem 31260
Description: Lemma for cvmopn 31262. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmcov.1 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
cvmseu.1 |- B = U. C
Assertion
Ref Expression
cvmopnlem |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) -> ( F " A ) e. J )
Distinct variable groups:   k, s, u, v, C   k, F, s, u, v   k, J, s, u, v   u, A, v   v, B
Allowed substitution hints:   A( k, s)   B( u, k, s)   S( v, u, k, s)
Proof of Theorem cvmopnlem
Dummy variables t w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 790 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) -> F e. ( C CovMap J ) )
2 cvmcn 31244 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> F e. ( C Cn J ) )
32adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) -> F e. ( C Cn J ) )
4 cvmseu.1 . . . . . . . . . 10 |- B = U. C
5 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- U. J = U. J
64, 5cnf 21050 . . . . . . . . 9 |- ( F e. ( C Cn J ) -> F : B --> U. J )
73, 6syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) -> F : B --> U. J )
87adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) -> F : B --> U. J )
9 elssuni 4467 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. C -> A C_ U. C )
109, 4syl6sseqr 3652 . . . . . . . . 9 |- ( A e. C -> A C_ B )
1110adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) -> A C_ B )
1211sselda 3603 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) -> z e. B )
138, 12ffvelrnd 6360 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. U. J )
14 cvmcov.1 . . . . . . 7 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
1514, 5cvmcov 31245 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ ( F ` z ) e. U. J ) -> E. t e. J ( ( F ` z ) e. t /\ ( S ` t ) =/= (/) ) )
161, 13, 15syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) -> E. t e. J ( ( F ` z ) e. t /\ ( S ` t ) =/= (/) ) )
17 n0 3931 . . . . . . . 8 |- ( ( S ` t ) =/= (/) <-> E. w w e. ( S ` t ) )
18 inss2 3834 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) C_ ( iota_ x e. w z e. x )
19 resima2 5432 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) C_ ( iota_ x e. w z e. x ) -> ( ( F |` ( iota_ x e. w z e. x ) ) " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) = ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F |` ( iota_ x e. w z e. x ) ) " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) = ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) )
21 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> w e. ( S ` t ) )
221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> F e. ( C CovMap J ) )
2312adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> z e. B )
24 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> ( F ` z ) e. t )
25 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( iota_ x e. w z e. x ) = ( iota_ x e. w z e. x )
2614, 4, 25cvmsiota 31259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ ( w e. ( S ` t ) /\ z e. B /\ ( F ` z ) e. t ) ) -> ( ( iota_ x e. w z e. x ) e. w /\ z e. ( iota_ x e. w z e. x ) ) )
2722, 21, 23, 24, 26syl13anc 1328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> ( ( iota_ x e. w z e. x ) e. w /\ z e. ( iota_ x e. w z e. x ) ) )
2827simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> ( iota_ x e. w z e. x ) e. w )
2914cvmshmeo 31253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. ( S ` t ) /\ ( iota_ x e. w z e. x ) e. w ) -> ( F |` ( iota_ x e. w z e. x ) ) e. ( ( C ↾t ( iota_ x e. w z e. x ) ) Homeo ( J ↾t t ) ) )
3021, 28, 29syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> ( F |` ( iota_ x e. w z e. x ) ) e. ( ( C ↾t ( iota_ x e. w z e. x ) ) Homeo ( J ↾t t ) ) )
31 cvmtop1 31242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> C e. Top )
3222, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> C e. Top )
33 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> A e. C )
34 elrestr 16089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C e. Top /\ ( iota_ x e. w z e. x ) e. w /\ A e. C ) -> ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) e. ( C ↾t ( iota_ x e. w z e. x ) ) )
3532, 28, 33, 34syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) e. ( C ↾t ( iota_ x e. w z e. x ) ) )
36 hmeoima 21568 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F |` ( iota_ x e. w z e. x ) ) e. ( ( C ↾t ( iota_ x e. w z e. x ) ) Homeo ( J ↾t t ) ) /\ ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) e. ( C ↾t ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) -> ( ( F |` ( iota_ x e. w z e. x ) ) " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) e. ( J ↾t t ) )
3730, 35, 36syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> ( ( F |` ( iota_ x e. w z e. x ) ) " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) e. ( J ↾t t ) )
3820, 37syl5eqelr 2706 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) e. ( J ↾t t ) )
39 cvmtop2 31243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> J e. Top )
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) -> J e. Top )
4140ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> J e. Top )
4214cvmsrcl 31246 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. ( S ` t ) -> t e. J )
4342ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> t e. J )
44 restopn2 20981 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ t e. J ) -> ( ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) e. ( J ↾t t ) <-> ( ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) e. J /\ ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) C_ t ) ) )
4541, 43, 44syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> ( ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) e. ( J ↾t t ) <-> ( ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) e. J /\ ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) C_ t ) ) )
4638, 45mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> ( ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) e. J /\ ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) C_ t ) )
4746simpld 475 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) e. J )
48 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : B --> U. J -> F Fn B )
497, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) -> F Fn B )
5049ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> F Fn B )
51 inss1 3833 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) C_ A
5233, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> A C_ B )
5351, 52syl5ss 3614 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) C_ B )
54 simplr 792 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> z e. A )
5527simprd 479 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> z e. ( iota_ x e. w z e. x ) )
5654, 55elind 3798 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> z e. ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) )
57 fnfvima 6496 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn B /\ ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) C_ B /\ z e. ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) -> ( F ` z ) e. ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) )
5850, 53, 56, 57syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> ( F ` z ) e. ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) )
59 imass2 5501 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) C_ A -> ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) C_ ( F " A ) )
6051, 59mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) C_ ( F " A ) )
61 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) -> ( ( F ` z ) e. y <-> ( F ` z ) e. ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) ) )
62 sseq1 3626 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) -> ( y C_ ( F " A ) <-> ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) C_ ( F " A ) ) )
6361, 62anbi12d 747 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) -> ( ( ( F ` z ) e. y /\ y C_ ( F " A ) ) <-> ( ( F ` z ) e. ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) /\ ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) C_ ( F " A ) ) ) )
6463rspcev 3309 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) e. J /\ ( ( F ` z ) e. ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) /\ ( F " ( A i^i ( iota_ x e. w z e. x ) ) ) C_ ( F " A ) ) ) -> E. y e. J ( ( F ` z ) e. y /\ y C_ ( F " A ) ) )
6547, 58, 60, 64syl12anc 1324 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( ( F ` z ) e. t /\ w e. ( S ` t ) ) ) -> E. y e. J ( ( F ` z ) e. y /\ y C_ ( F " A ) ) )
6665expr 643 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( F ` z ) e. t ) -> ( w e. ( S ` t ) -> E. y e. J ( ( F ` z ) e. y /\ y C_ ( F " A ) ) ) )
6766exlimdv 1861 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( F ` z ) e. t ) -> ( E. w w e. ( S ` t ) -> E. y e. J ( ( F ` z ) e. y /\ y C_ ( F " A ) ) ) )
6817, 67syl5bi 232 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) /\ ( F ` z ) e. t ) -> ( ( S ` t ) =/= (/) -> E. y e. J ( ( F ` z ) e. y /\ y C_ ( F " A ) ) ) )
6968expimpd 629 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) -> ( ( ( F ` z ) e. t /\ ( S ` t ) =/= (/) ) -> E. y e. J ( ( F ` z ) e. y /\ y C_ ( F " A ) ) ) )
7069rexlimdvw 3034 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) -> ( E. t e. J ( ( F ` z ) e. t /\ ( S ` t ) =/= (/) ) -> E. y e. J ( ( F ` z ) e. y /\ y C_ ( F " A ) ) ) )
7116, 70mpd 15 . . . 4 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) /\ z e. A ) -> E. y e. J ( ( F ` z ) e. y /\ y C_ ( F " A ) ) )
7271ralrimiva 2966 . . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) -> A. z e. A E. y e. J ( ( F ` z ) e. y /\ y C_ ( F " A ) ) )
73 eleq1 2689 . . . . . . 7 |- ( x = ( F ` z ) -> ( x e. y <-> ( F ` z ) e. y ) )
7473anbi1d 741 . . . . . 6 |- ( x = ( F ` z ) -> ( ( x e. y /\ y C_ ( F " A ) ) <-> ( ( F ` z ) e. y /\ y C_ ( F " A ) ) ) )
7574rexbidv 3052 . . . . 5 |- ( x = ( F ` z ) -> ( E. y e. J ( x e. y /\ y C_ ( F " A ) ) <-> E. y e. J ( ( F ` z ) e. y /\ y C_ ( F " A ) ) ) )
7675ralima 6498 . . . 4 |- ( ( F Fn B /\ A C_ B ) -> ( A. x e. ( F " A ) E. y e. J ( x e. y /\ y C_ ( F " A ) ) <-> A. z e. A E. y e. J ( ( F ` z ) e. y /\ y C_ ( F " A ) ) ) )
7749, 11, 76syl2anc 693 . . 3 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) -> ( A. x e. ( F " A ) E. y e. J ( x e. y /\ y C_ ( F " A ) ) <-> A. z e. A E. y e. J ( ( F ` z ) e. y /\ y C_ ( F " A ) ) ) )
7872, 77mpbird 247 . 2 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) -> A. x e. ( F " A ) E. y e. J ( x e. y /\ y C_ ( F " A ) ) )
79 eltop2 20779 . . 3 |- ( J e. Top -> ( ( F " A ) e. J <-> A. x e. ( F " A ) E. y e. J ( x e. y /\ y C_ ( F " A ) ) ) )
8040, 79syl 17 . 2 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) -> ( ( F " A ) e. J <-> A. x e. ( F " A ) E. y e. J ( x e. y /\ y C_ ( F " A ) ) ) )
8178, 80mpbird 247 1 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ A e. C ) -> ( F " A ) e. J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   ↾t crest 16081   Topctop 20698   Cn ccn 21028   Homeochmeo 21556   CovMap ccvm 31237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-hmeo 21558  df-cvm 31238
This theorem is referenced by:  cvmopn  31262
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