MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distrpi Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem distrpi 9720
Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrpi |- ( A .N ( B +N C ) ) = ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) )
Proof of Theorem distrpi
StepHypRef Expression
1 pinn 9700 . . . 4 |- ( A e. N. -> A e. om )
2 pinn 9700 . . . 4 |- ( B e. N. -> B e. om )
3 pinn 9700 . . . 4 |- ( C e. N. -> C e. om )
4 nndi 7703 . . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A .o ( B +o C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1368 . . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .o ( B +o C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
6 addclpi 9714 . . . . . 6 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) e. N. )
7 mulpiord 9707 . . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ ( B +N C ) e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +N C ) ) )
86, 7sylan2 491 . . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +N C ) ) )
9 addpiord 9706 . . . . . . 7 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) = ( B +o C ) )
109oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .o ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
1110adantl 482 . . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .o ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
128, 11eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
13123impb 1260 . . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( A .o ( B +o C ) ) )
14 mulclpi 9715 . . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )
15 mulclpi 9715 . . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) e. N. )
16 addpiord 9706 . . . . . 6 |- ( ( ( A .N B ) e. N. /\ ( A .N C ) e. N. ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .N B ) +o ( A .N C ) ) )
1714, 15, 16syl2an 494 . . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .N B ) +o ( A .N C ) ) )
18 mulpiord 9707 . . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
19 mulpiord 9707 . . . . . 6 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
2018, 19oveqan12d 6669 . . . . 5 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N B ) +o ( A .N C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
2117, 20eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
22213impdi 1381 . . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) = ( ( A .o B ) +o ( A .o C ) ) )
235, 13, 223eqtr4d 2666 . 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) )
24 dmaddpi 9712 . . 3 |- dom +N = ( N. X. N. )
25 0npi 9704 . . 3 |- -. (/) e. N.
26 dmmulpi 9713 . . 3 |- dom .N = ( N. X. N. )
2724, 25, 26ndmovdistr 6823 . 2 |- ( -. ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N ( B +N C ) ) = ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) ) )
2823, 27pm2.61i 176 1 |- ( A .N ( B +N C ) ) = ( ( A .N B ) +N ( A .N C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   omcom 7065   +o coa 7557   .o comu 7558   N.cnpi 9666   +N cpli 9667   .N cmi 9668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696
This theorem is referenced by:  adderpqlem  9776  addassnq  9780  distrnq  9783  ltanq  9793  ltexnq  9797
  Copyright terms: Public domain W3C validator