Theorem ecexg 7746

Description: An equivalence class modulo a set is a set. (Contributed by NM, 24-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ecexg	|- ( R e. B -> [ A ] R e. _V )

Proof of Theorem ecexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ec 7744	. 2 |- [ A ] R = ( R " { A } )
2		imaexg 7103	. 2 |- ( R e. B -> ( R " { A } ) e. _V )
3	1, 2	syl5eqel 2705	1 |- ( R e. B -> [ A ] R e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   "cima 5117   [cec 7740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ec 7744

This theorem is referenced by:  ecelqsg  7802  uniqs  7807  eroveu  7842  erov  7844  addsrpr  9896  mulsrpr  9897  quslem  16203  eqgen  17647  qusghm  17697  sylow2blem1  18035  vrgpval  18180  znzrhval  19895  qustgpopn  21923  qustgplem  21924  elpi1  22845  pi1xfrval  22854  pi1xfrcnvlem  22856  pi1xfrcnv  22857  pi1cof  22859  pi1coval  22860  pstmfval  29939  fvline  32251  ecex2  34100