Theorem sylow2blem1 18035

Description: Lemma for sylow2b 18038. Evaluate the group action on a left coset. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow2b.x	|- X = ( Base ` G )
sylow2b.xf	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow2b.h	|- ( ph -> H e. (SubGrp ` G ) )
sylow2b.k	|- ( ph -> K e. (SubGrp ` G ) )
sylow2b.a	|- .+ = ( +g ` G )
sylow2b.r	|- .~ = ( G ~QG K )
sylow2b.m	|- .x. = ( x e. H , y e. ( X /. .~ ) |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sylow2blem1	|- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( B .x. [ C ] .~ ) = [ ( B .+ C ) ] .~ )

Distinct variable groups:   x, y, z, G   x, K, y, z   x, .x. , y, z   x, .+ , y, z   x, .~ , y, z   ph, z   x, B, y, z   x, C, y, z   x, H, y, z   x, X, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem sylow2blem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1062	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> B e. H )
2		sylow2b.r	. . . . 5 |- .~ = ( G ~QG K )
3		ovex 6678	. . . . 5 |- ( G ~QG K ) e. _V
4	2, 3	eqeltri 2697	. . . 4 |- .~ e. _V
5		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> C e. X )
6		ecelqsg 7802	. . . 4 |- ( ( .~ e. _V /\ C e. X ) -> [ C ] .~ e. ( X /. .~ ) )
7	4, 5, 6	sylancr 695	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> [ C ] .~ e. ( X /. .~ ) )
8		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( x = B /\ y = [ C ] .~ ) -> y = [ C ] .~ )
9		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( x = B /\ y = [ C ] .~ ) -> x = B )
10	9	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( x = B /\ y = [ C ] .~ ) -> ( x .+ z ) = ( B .+ z ) )
11	8, 10	mpteq12dv 4733	. . . . 5 |- ( ( x = B /\ y = [ C ] .~ ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) )
12	11	rneqd 5353	. . . 4 |- ( ( x = B /\ y = [ C ] .~ ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) )
13		sylow2b.m	. . . 4 |- .x. = ( x e. H , y e. ( X /. .~ ) |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
14		ecexg 7746	. . . . . . 7 |- ( .~ e. _V -> [ C ] .~ e. _V )
15	4, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 |- [ C ] .~ e. _V
16	15	mptex 6486	. . . . 5 |- ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) e. _V
17	16	rnex 7100	. . . 4 |- ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) e. _V
18	12, 13, 17	ovmpt2a 6791	. . 3 |- ( ( B e. H /\ [ C ] .~ e. ( X /. .~ ) ) -> ( B .x. [ C ] .~ ) = ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) )
19	1, 7, 18	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( B .x. [ C ] .~ ) = ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) )
20		sylow2b.xf	. . . . 5 |- ( ph -> X e. Fin )
21		sylow2b.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. (SubGrp ` G ) )
22		sylow2b.x	. . . . . . . 8 |- X = ( Base ` G )
23	22, 2	eqger 17644	. . . . . . 7 |- ( K e. (SubGrp ` G ) -> .~ Er X )
24	21, 23	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> .~ Er X )
25	24	ecss 7788	. . . . 5 |- ( ph -> [ ( B .+ C ) ] .~ C_ X )
26		ssfi 8180	. . . . 5 |- ( ( X e. Fin /\ [ ( B .+ C ) ] .~ C_ X ) -> [ ( B .+ C ) ] .~ e. Fin )
27	20, 25, 26	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> [ ( B .+ C ) ] .~ e. Fin )
28	27	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> [ ( B .+ C ) ] .~ e. Fin )
29		vex 3203	. . . . . . . 8 |- z e. _V
30		elecg 7785	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. _V /\ C e. X ) -> ( z e. [ C ] .~ <-> C .~ z ) )
31	29, 5, 30	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( z e. [ C ] .~ <-> C .~ z ) )
32	31	biimpa 501	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) /\ z e. [ C ] .~ ) -> C .~ z )
33		sylow2b.h	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> H e. (SubGrp ` G ) )
34		subgrcl 17599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. Grp )
36	35	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> G e. Grp )
37	22	subgss 17595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> H C_ X )
38	33, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> H C_ X )
39	38	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> H C_ X )
40	39, 1	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> B e. X )
41		sylow2b.a	. . . . . . . . . . 11 |- .+ = ( +g ` G )
42	22, 41	grpcl 17430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( B .+ C ) e. X )
43	36, 40, 5, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( B .+ C ) e. X )
44	43	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) /\ C .~ z ) -> ( B .+ C ) e. X )
45	36	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) /\ C .~ z ) -> G e. Grp )
46	40	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) /\ C .~ z ) -> B e. X )
47	22	subgss 17595	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. (SubGrp ` G ) -> K C_ X )
48	21, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> K C_ X )
49		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
50	22, 49, 41, 2	eqgval 17643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ K C_ X ) -> ( C .~ z <-> ( C e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` C ) .+ z ) e. K ) ) )
51	35, 48, 50	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C .~ z <-> ( C e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` C ) .+ z ) e. K ) ) )
52	51	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( C .~ z <-> ( C e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` C ) .+ z ) e. K ) ) )
53	52	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) /\ C .~ z ) -> ( C e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` C ) .+ z ) e. K ) )
54	53	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) /\ C .~ z ) -> z e. X )
55	22, 41	grpcl 17430	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ B e. X /\ z e. X ) -> ( B .+ z ) e. X )
56	45, 46, 54, 55	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) /\ C .~ z ) -> ( B .+ z ) e. X )
57	22, 49	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ ( B .+ C ) e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) e. X )
58	36, 43, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) e. X )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) /\ C .~ z ) -> ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) e. X )
60	22, 41	grpass 17431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) e. X /\ B e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) .+ B ) .+ z ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) .+ ( B .+ z ) ) )
61	45, 59, 46, 54, 60	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) /\ C .~ z ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) .+ B ) .+ z ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) .+ ( B .+ z ) ) )
62	22, 41, 49	grpinvadd 17493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. Grp /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` C ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) )
63	36, 40, 5, 62	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` C ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) )
64	22, 49	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. Grp /\ C e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` C ) e. X )
65	36, 5, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` C ) e. X )
66		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
67	22, 41, 49, 66	grpsubval 17465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( invg ` G ) ` C ) e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` C ) ( -g ` G ) B ) = ( ( ( invg ` G ) ` C ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) )
68	65, 40, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` C ) ( -g ` G ) B ) = ( ( ( invg ` G ) ` C ) .+ ( ( invg ` G ) ` B ) ) )
69	63, 68	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` C ) ( -g ` G ) B ) )
70	69	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) .+ B ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` C ) ( -g ` G ) B ) .+ B ) )
71	22, 41, 66	grpnpcan 17507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` C ) e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` C ) ( -g ` G ) B ) .+ B ) = ( ( invg ` G ) ` C ) )
72	36, 65, 40, 71	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` C ) ( -g ` G ) B ) .+ B ) = ( ( invg ` G ) ` C ) )
73	70, 72	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) .+ B ) = ( ( invg ` G ) ` C ) )
74	73	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) .+ B ) .+ z ) = ( ( ( invg ` G ) ` C ) .+ z ) )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) /\ C .~ z ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) .+ B ) .+ z ) = ( ( ( invg ` G ) ` C ) .+ z ) )
76	61, 75	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) /\ C .~ z ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) .+ ( B .+ z ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` C ) .+ z ) )
77	53	simp3d 1075	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) /\ C .~ z ) -> ( ( ( invg ` G ) ` C ) .+ z ) e. K )
78	76, 77	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) /\ C .~ z ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) .+ ( B .+ z ) ) e. K )
79	22, 49, 41, 2	eqgval 17643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ K C_ X ) -> ( ( B .+ C ) .~ ( B .+ z ) <-> ( ( B .+ C ) e. X /\ ( B .+ z ) e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) .+ ( B .+ z ) ) e. K ) ) )
80	35, 48, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B .+ C ) .~ ( B .+ z ) <-> ( ( B .+ C ) e. X /\ ( B .+ z ) e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) .+ ( B .+ z ) ) e. K ) ) )
81	80	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( ( B .+ C ) .~ ( B .+ z ) <-> ( ( B .+ C ) e. X /\ ( B .+ z ) e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) .+ ( B .+ z ) ) e. K ) ) )
82	81	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) /\ C .~ z ) -> ( ( B .+ C ) .~ ( B .+ z ) <-> ( ( B .+ C ) e. X /\ ( B .+ z ) e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( B .+ C ) ) .+ ( B .+ z ) ) e. K ) ) )
83	44, 56, 78, 82	mpbir3and 1245	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) /\ C .~ z ) -> ( B .+ C ) .~ ( B .+ z ) )
84		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( B .+ z ) e. _V
85		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( B .+ C ) e. _V
86	84, 85	elec 7786	. . . . . . 7 |- ( ( B .+ z ) e. [ ( B .+ C ) ] .~ <-> ( B .+ C ) .~ ( B .+ z ) )
87	83, 86	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) /\ C .~ z ) -> ( B .+ z ) e. [ ( B .+ C ) ] .~ )
88	32, 87	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) /\ z e. [ C ] .~ ) -> ( B .+ z ) e. [ ( B .+ C ) ] .~ )
89		eqid 2622	. . . . 5 |- ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) = ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) )
90	88, 89	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) : [ C ] .~ --> [ ( B .+ C ) ] .~ )
91		frn 6053	. . . 4 |- ( ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) : [ C ] .~ --> [ ( B .+ C ) ] .~ -> ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) C_ [ ( B .+ C ) ] .~ )
92	90, 91	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) C_ [ ( B .+ C ) ] .~ )
93		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. X |-> ( B .+ z ) ) = ( z e. X |-> ( B .+ z ) )
94	22, 41, 93	grplmulf1o 17489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ B e. X ) -> ( z e. X |-> ( B .+ z ) ) : X -1-1-onto-> X )
95	36, 40, 94	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( z e. X |-> ( B .+ z ) ) : X -1-1-onto-> X )
96		f1of1 6136	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. X |-> ( B .+ z ) ) : X -1-1-onto-> X -> ( z e. X |-> ( B .+ z ) ) : X -1-1-> X )
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( z e. X |-> ( B .+ z ) ) : X -1-1-> X )
98	24	ecss 7788	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> [ C ] .~ C_ X )
99	98	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> [ C ] .~ C_ X )
100		f1ssres 6108	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. X |-> ( B .+ z ) ) : X -1-1-> X /\ [ C ] .~ C_ X ) -> ( ( z e. X |-> ( B .+ z ) ) |` [ C ] .~ ) : [ C ] .~ -1-1-> X )
101	97, 99, 100	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( ( z e. X |-> ( B .+ z ) ) |` [ C ] .~ ) : [ C ] .~ -1-1-> X )
102		resmpt 5449	. . . . . . . 8 |- ( [ C ] .~ C_ X -> ( ( z e. X |-> ( B .+ z ) ) |` [ C ] .~ ) = ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) )
103		f1eq1 6096	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. X |-> ( B .+ z ) ) |` [ C ] .~ ) = ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) -> ( ( ( z e. X |-> ( B .+ z ) ) |` [ C ] .~ ) : [ C ] .~ -1-1-> X <-> ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) : [ C ] .~ -1-1-> X ) )
104	99, 102, 103	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( ( ( z e. X |-> ( B .+ z ) ) |` [ C ] .~ ) : [ C ] .~ -1-1-> X <-> ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) : [ C ] .~ -1-1-> X ) )
105	101, 104	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) : [ C ] .~ -1-1-> X )
106		f1f1orn 6148	. . . . . 6 |- ( ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) : [ C ] .~ -1-1-> X -> ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) : [ C ] .~ -1-1-onto-> ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) )
107	105, 106	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) : [ C ] .~ -1-1-onto-> ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) )
108	15	f1oen 7976	. . . . 5 |- ( ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) : [ C ] .~ -1-1-onto-> ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) -> [ C ] .~ ~~ ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) )
109		ensym 8005	. . . . 5 |- ( [ C ] .~ ~~ ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) -> ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) ~~ [ C ] .~ )
110	107, 108, 109	3syl 18	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) ~~ [ C ] .~ )
111	21	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> K e. (SubGrp ` G ) )
112	22, 2	eqgen 17647	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (SubGrp ` G ) /\ [ C ] .~ e. ( X /. .~ ) ) -> K ~~ [ C ] .~ )
113	111, 7, 112	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> K ~~ [ C ] .~ )
114		ensym 8005	. . . . . 6 |- ( K ~~ [ C ] .~ -> [ C ] .~ ~~ K )
115	113, 114	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> [ C ] .~ ~~ K )
116		ecelqsg 7802	. . . . . . 7 |- ( ( .~ e. _V /\ ( B .+ C ) e. X ) -> [ ( B .+ C ) ] .~ e. ( X /. .~ ) )
117	4, 43, 116	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> [ ( B .+ C ) ] .~ e. ( X /. .~ ) )
118	22, 2	eqgen 17647	. . . . . 6 |- ( ( K e. (SubGrp ` G ) /\ [ ( B .+ C ) ] .~ e. ( X /. .~ ) ) -> K ~~ [ ( B .+ C ) ] .~ )
119	111, 117, 118	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> K ~~ [ ( B .+ C ) ] .~ )
120		entr 8008	. . . . 5 |- ( ( [ C ] .~ ~~ K /\ K ~~ [ ( B .+ C ) ] .~ ) -> [ C ] .~ ~~ [ ( B .+ C ) ] .~ )
121	115, 119, 120	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> [ C ] .~ ~~ [ ( B .+ C ) ] .~ )
122		entr 8008	. . . 4 |- ( ( ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) ~~ [ C ] .~ /\ [ C ] .~ ~~ [ ( B .+ C ) ] .~ ) -> ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) ~~ [ ( B .+ C ) ] .~ )
123	110, 121, 122	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) ~~ [ ( B .+ C ) ] .~ )
124		fisseneq 8171	. . 3 |- ( ( [ ( B .+ C ) ] .~ e. Fin /\ ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) C_ [ ( B .+ C ) ] .~ /\ ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) ~~ [ ( B .+ C ) ] .~ ) -> ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) = [ ( B .+ C ) ] .~ )
125	28, 92, 123, 124	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ran ( z e. [ C ] .~ |-> ( B .+ z ) ) = [ ( B .+ C ) ] .~ )
126	19, 125	eqtrd 2656	1 |- ( ( ph /\ B e. H /\ C e. X ) -> ( B .x. [ C ] .~ ) = [ ( B .+ C ) ] .~ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Er wer 7739   [cec 7740   /.cqs 7741   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   -gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588   ~_QG cqg 17590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-eqg 17593

This theorem is referenced by:  sylow2blem2  18036  sylow2blem3  18037