Theorem pi1xfrcnvlem 22856

Description: Given a path F between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1xfr.p	|- P = ( J pi1 ( F ` 0 ) )
pi1xfr.q	|- Q = ( J pi1 ( F ` 1 ) )
pi1xfr.b	|- B = ( Base ` P )
pi1xfr.g	|- G = ran ( g e. U. B |-> <. [ g ] ( ~=ph ` J ) , [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. )
pi1xfr.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
pi1xfr.f	|- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
pi1xfr.i	|- I = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) )
pi1xfrcnv.h	|- H = ran ( h e. U. ( Base ` Q ) |-> <. [ h ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) I ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. )

Assertion

Ref	Expression
pi1xfrcnvlem	|- ( ph -> `' G C_ H )

Distinct variable groups:   g, h, x, B   g, F, h, x   g, I, h, x   h, G   ph, g, h, x   g, J, h, x   P, g, h, x   Q, g, h, x

Allowed substitution hints:   G( x, g)   H( x, g, h)   X( x, g, h)

Proof of Theorem pi1xfrcnvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1xfr.g	. . . 4 |- G = ran ( g e. U. B |-> <. [ g ] ( ~=ph ` J ) , [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. )
2		fvex 6201	. . . . 5 |- ( ~=ph ` J ) e. _V
3		ecexg 7746	. . . . 5 |- ( ( ~=ph ` J ) e. _V -> [ g ] ( ~=ph ` J ) e. _V )
4	2, 3	mp1i 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> [ g ] ( ~=ph ` J ) e. _V )
5		ecexg 7746	. . . . 5 |- ( ( ~=ph ` J ) e. _V -> [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) e. _V )
6	2, 5	mp1i 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) e. _V )
7	1, 4, 6	fliftcnv 6561	. . 3 |- ( ph -> `' G = ran ( g e. U. B |-> <. [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) , [ g ] ( ~=ph ` J ) >. ) )
8		pi1xfr.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
9		pi1xfr.i	. . . . . . . . . . . 12 |- I = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` ( 1 - x ) ) )
10	9	pcorevcl 22825	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( I e. ( II Cn J ) /\ ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) )
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I e. ( II Cn J ) /\ ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) )
12	11	simp1d 1073	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. ( II Cn J ) )
13	12	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> I e. ( II Cn J ) )
14		pi1xfr.p	. . . . . . . . . . . 12 |- P = ( J pi1 ( F ` 0 ) )
15		pi1xfr.j	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
16		iitopon 22682	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
18		cnf2 21053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( II Cn J ) ) -> F : ( 0 [,] 1 ) --> X )
19	17, 15, 8, 18	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : ( 0 [,] 1 ) --> X )
20		0elunit 12290	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
21		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 0 ) e. X )
22	19, 20, 21	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. X )
23		pi1xfr.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- B = ( Base ` P )
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B = ( Base ` P ) )
25	14, 15, 22, 24	pi1eluni 22842	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( g e. U. B <-> ( g e. ( II Cn J ) /\ ( g ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( g ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) ) )
26	25	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( g e. ( II Cn J ) /\ ( g ` 0 ) = ( F ` 0 ) /\ ( g ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) )
27	26	simp1d 1073	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> g e. ( II Cn J ) )
28	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> F e. ( II Cn J ) )
29	26	simp3d 1075	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( g ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
30	27, 28, 29	pcocn 22817	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( g ( *p ` J ) F ) e. ( II Cn J ) )
31	11	simp3d 1075	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( F ` 0 ) )
33	26	simp2d 1074	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( g ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
34	32, 33	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( g ` 0 ) )
35	27, 28	pco0 22814	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( ( g ( *p ` J ) F ) ` 0 ) = ( g ` 0 ) )
36	34, 35	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( I ` 1 ) = ( ( g ( *p ` J ) F ) ` 0 ) )
37	13, 30, 36	pcocn 22817	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) )
38	13, 30	pco0 22814	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( I ` 0 ) )
39	11	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
40	39	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( I ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
41	38, 40	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) )
42	13, 30	pco1 22815	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( ( g ( *p ` J ) F ) ` 1 ) )
43	27, 28	pco1 22815	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( ( g ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
44	42, 43	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
45		pi1xfr.q	. . . . . . . . 9 |- Q = ( J pi1 ( F ` 1 ) )
46		1elunit 12291	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
47		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 1 ) e. X )
48	19, 46, 47	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. X )
49		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Base ` Q ) = ( Base ` Q ) )
50	45, 15, 48, 49	pi1eluni 22842	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) ) ) )
51	50	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ` 0 ) = ( F ` 1 ) /\ ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) ) ) )
52	37, 41, 44, 51	mpbir3and 1245	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) e. U. ( Base ` Q ) )
53		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> ( g e. U. B |-> ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ) = ( g e. U. B |-> ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ) )
54		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> ( h e. U. ( Base ` Q ) |-> <. [ h ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) I ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. ) = ( h e. U. ( Base ` Q ) |-> <. [ h ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) I ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. ) )
55		eceq1 7782	. . . . . . 7 |- ( h = ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) -> [ h ] ( ~=ph ` J ) = [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
56		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( h = ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) -> ( h ( *p ` J ) I ) = ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) I ) )
57	56	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( h = ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) -> ( F ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) I ) ) = ( F ( *p ` J ) ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) I ) ) )
58	57	eceq1d 7783	. . . . . . 7 |- ( h = ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) -> [ ( F ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) I ) ) ] ( ~=ph ` J ) = [ ( F ( *p ` J ) ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) I ) ) ] ( ~=ph ` J ) )
59	55, 58	opeq12d 4410	. . . . . 6 |- ( h = ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) -> <. [ h ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) I ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. = <. [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F ( *p ` J ) ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) I ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. )
60	52, 53, 54, 59	fmptco 6396	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( h e. U. ( Base ` Q ) |-> <. [ h ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) I ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. ) o. ( g e. U. B |-> ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ) ) = ( g e. U. B |-> <. [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F ( *p ` J ) ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) I ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. ) )
61		phtpcer 22794	. . . . . . . . 9 |- ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J )
62	61	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J ) )
63	13, 27	pco0 22814	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) g ) ` 0 ) = ( I ` 0 ) )
64	63, 40	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( F ` 1 ) = ( ( I ( *p ` J ) g ) ` 0 ) )
65	62, 28	erref 7762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> F ( ~=ph ` J ) F )
66	62, 13	erref 7762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> I ( ~=ph ` J ) I )
67		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) = ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } )
68	67	pcopt2 22823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g e. ( II Cn J ) /\ ( g ` 1 ) = ( F ` 0 ) ) -> ( g ( *p ` J ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ) ( ~=ph ` J ) g )
69	27, 29, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( g ( *p ` J ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ) ( ~=ph ` J ) g )
70	40	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( F ` 1 ) = ( I ` 0 ) )
71		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , if ( x <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. x ) , ( x + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( x / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
72	27, 28, 13, 29, 70, 71	pcoass 22824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( ( g ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) I ) ( ~=ph ` J ) ( g ( *p ` J ) ( F ( *p ` J ) I ) ) )
73	28, 13	pco0 22814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
74	29, 73	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( g ` 1 ) = ( ( F ( *p ` J ) I ) ` 0 ) )
75	62, 27	erref 7762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> g ( ~=ph ` J ) g )
76	9, 67	pcorev2 22828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. ( II Cn J ) -> ( F ( *p ` J ) I ) ( ~=ph ` J ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) )
77	28, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( F ( *p ` J ) I ) ( ~=ph ` J ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) )
78	74, 75, 77	pcohtpy 22820	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( g ( *p ` J ) ( F ( *p ` J ) I ) ) ( ~=ph ` J ) ( g ( *p ` J ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ) )
79	62, 72, 78	ertr2d 7759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( g ( *p ` J ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ) ( ~=ph ` J ) ( ( g ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) I ) )
80	62, 69, 79	ertr3d 7760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> g ( ~=ph ` J ) ( ( g ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) I ) )
81	34, 66, 80	pcohtpy 22820	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) g ) ( ~=ph ` J ) ( I ( *p ` J ) ( ( g ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) I ) ) )
82	43, 40	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( ( g ( *p ` J ) F ) ` 1 ) = ( I ` 0 ) )
83	13, 30, 13, 36, 82, 71	pcoass 22824	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) I ) ( ~=ph ` J ) ( I ( *p ` J ) ( ( g ( *p ` J ) F ) ( *p ` J ) I ) ) )
84	62, 81, 83	ertr4d 7761	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( I ( *p ` J ) g ) ( ~=ph ` J ) ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) I ) )
85	64, 65, 84	pcohtpy 22820	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( F ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) g ) ) ( ~=ph ` J ) ( F ( *p ` J ) ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) I ) ) )
86	28, 13, 27, 70, 34, 71	pcoass 22824	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ( *p ` J ) g ) ( ~=ph ` J ) ( F ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) g ) ) )
87	28, 13	pco1 22815	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ` 1 ) = ( I ` 1 ) )
88	87, 34	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ` 1 ) = ( g ` 0 ) )
89	88, 77, 75	pcohtpy 22820	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ( *p ` J ) g ) ( ~=ph ` J ) ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ( *p ` J ) g ) )
90	67	pcopt 22822	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g e. ( II Cn J ) /\ ( g ` 0 ) = ( F ` 0 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ( *p ` J ) g ) ( ~=ph ` J ) g )
91	27, 33, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ( *p ` J ) g ) ( ~=ph ` J ) g )
92	62, 89, 91	ertrd 7758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( ( F ( *p ` J ) I ) ( *p ` J ) g ) ( ~=ph ` J ) g )
93	62, 86, 92	ertr3d 7760	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( F ( *p ` J ) ( I ( *p ` J ) g ) ) ( ~=ph ` J ) g )
94	62, 85, 93	ertr3d 7760	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> ( F ( *p ` J ) ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) I ) ) ( ~=ph ` J ) g )
95	62, 94	erthi 7793	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> [ ( F ( *p ` J ) ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) I ) ) ] ( ~=ph ` J ) = [ g ] ( ~=ph ` J ) )
96	95	opeq2d 4409	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. U. B ) -> <. [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F ( *p ` J ) ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) I ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. = <. [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) , [ g ] ( ~=ph ` J ) >. )
97	96	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( g e. U. B |-> <. [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F ( *p ` J ) ( ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ( *p ` J ) I ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. ) = ( g e. U. B |-> <. [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) , [ g ] ( ~=ph ` J ) >. ) )
98	60, 97	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( h e. U. ( Base ` Q ) |-> <. [ h ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) I ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. ) o. ( g e. U. B |-> ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ) ) = ( g e. U. B |-> <. [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) , [ g ] ( ~=ph ` J ) >. ) )
99	98	rneqd 5353	. . 3 |- ( ph -> ran ( ( h e. U. ( Base ` Q ) |-> <. [ h ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) I ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. ) o. ( g e. U. B |-> ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ) ) = ran ( g e. U. B |-> <. [ ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ] ( ~=ph ` J ) , [ g ] ( ~=ph ` J ) >. ) )
100	7, 99	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ph -> `' G = ran ( ( h e. U. ( Base ` Q ) |-> <. [ h ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) I ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. ) o. ( g e. U. B |-> ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ) ) )
101		rncoss 5386	. . 3 |- ran ( ( h e. U. ( Base ` Q ) |-> <. [ h ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) I ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. ) o. ( g e. U. B |-> ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ) ) C_ ran ( h e. U. ( Base ` Q ) |-> <. [ h ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) I ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. )
102		pi1xfrcnv.h	. . 3 |- H = ran ( h e. U. ( Base ` Q ) |-> <. [ h ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) I ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. )
103	101, 102	sseqtr4i 3638	. 2 |- ran ( ( h e. U. ( Base ` Q ) |-> <. [ h ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F ( *p ` J ) ( h ( *p ` J ) I ) ) ] ( ~=ph ` J ) >. ) o. ( g e. U. B |-> ( I ( *p ` J ) ( g ( *p ` J ) F ) ) ) ) C_ H
104	100, 103	syl6eqss 3655	1 |- ( ph -> `' G C_ H )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Er wer 7739   [cec 7740   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   4c4 11072   [,]cicc 12178   Basecbs 15857  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   IIcii 22678   ~=ph cphtpc 22768   *pcpco 22800   pi1 cpi1 22803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-pco 22805  df-om1 22806  df-pi1 22808

This theorem is referenced by:  pi1xfrcnv  22857