Theorem pstmfval 29939

Description: Function value of the metric induced by a pseudometric D (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
pstmval.1	|- .~ = (~Met ` D )

Assertion

Ref	Expression
pstmfval	|- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( [ A ] .~ (pstoMet ` D ) [ B ] .~ ) = ( A D B ) )

Proof of Theorem pstmfval

Dummy variables a b x y z e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pstmval.1	. . . . 5 |- .~ = (~Met ` D )
2	1	pstmval 29938	. . . 4 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> (pstoMet ` D ) = ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) )
3	2	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> (pstoMet ` D ) = ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) )
4	3	oveqd 6667	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( [ A ] .~ (pstoMet ` D ) [ B ] .~ ) = ( [ A ] .~ ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) [ B ] .~ ) )
5		fvex 6201	. . . . . 6 |- (~Met ` D ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2697	. . . . 5 |- .~ e. _V
7	6	ecelqsi 7803	. . . 4 |- ( A e. X -> [ A ] .~ e. ( X /. .~ ) )
8	7	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> [ A ] .~ e. ( X /. .~ ) )
9	6	ecelqsi 7803	. . . 4 |- ( B e. X -> [ B ] .~ e. ( X /. .~ ) )
10	9	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> [ B ] .~ e. ( X /. .~ ) )
11		rexeq 3139	. . . . . 6 |- ( x = [ A ] .~ -> ( E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) <-> E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) ) )
12	11	abbidv 2741	. . . . 5 |- ( x = [ A ] .~ -> { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } = { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) } )
13	12	unieqd 4446	. . . 4 |- ( x = [ A ] .~ -> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } = U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) } )
14		rexeq 3139	. . . . . . 7 |- ( y = [ B ] .~ -> ( E. b e. y z = ( a D b ) <-> E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) )
15	14	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( y = [ B ] .~ -> ( E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) <-> E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) )
16	15	abbidv 2741	. . . . 5 |- ( y = [ B ] .~ -> { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) } = { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } )
17	16	unieqd 4446	. . . 4 |- ( y = [ B ] .~ -> U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. y z = ( a D b ) } = U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } )
18		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) = ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } )
19		ecexg 7746	. . . . . . 7 |- ( .~ e. _V -> [ A ] .~ e. _V )
20	6, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 |- [ A ] .~ e. _V
21		ecexg 7746	. . . . . . 7 |- ( .~ e. _V -> [ B ] .~ e. _V )
22	6, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 |- [ B ] .~ e. _V
23	20, 22	ab2rexex 7159	. . . . 5 |- { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } e. _V
24	23	uniex 6953	. . . 4 |- U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } e. _V
25	13, 17, 18, 24	ovmpt2 6796	. . 3 |- ( ( [ A ] .~ e. ( X /. .~ ) /\ [ B ] .~ e. ( X /. .~ ) ) -> ( [ A ] .~ ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) [ B ] .~ ) = U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } )
26	8, 10, 25	syl2anc 693	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( [ A ] .~ ( x e. ( X /. .~ ) , y e. ( X /. .~ ) |-> U. { z | E. a e. x E. b e. y z = ( a D b ) } ) [ B ] .~ ) = U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } )
27		simpr3 1069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> z = ( e D f ) )
28		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> D e. (PsMet ` X ) )
29		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> e e. [ A ] .~ )
30		metidss 29934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> (~Met ` D ) C_ ( X X. X ) )
31	1, 30	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> .~ C_ ( X X. X ) )
32		xpss 5226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X X. X ) C_ ( _V X. _V )
33	31, 32	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> .~ C_ ( _V X. _V ) )
34		df-rel 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Rel .~ <-> .~ C_ ( _V X. _V ) )
35	33, 34	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> Rel .~ )
36	35	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> Rel .~ )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> Rel .~ )
38		relelec 7787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Rel .~ -> ( e e. [ A ] .~ <-> A .~ e ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> ( e e. [ A ] .~ <-> A .~ e ) )
40	29, 39	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> A .~ e )
41	1	breqi 4659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A .~ e <-> A (~Met ` D ) e )
42	40, 41	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> A (~Met ` D ) e )
43		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> f e. [ B ] .~ )
44		relelec 7787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Rel .~ -> ( f e. [ B ] .~ <-> B .~ f ) )
45	37, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> ( f e. [ B ] .~ <-> B .~ f ) )
46	43, 45	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> B .~ f )
47	1	breqi 4659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B .~ f <-> B (~Met ` D ) f )
48	46, 47	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> B (~Met ` D ) f )
49		metideq 29936	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A (~Met ` D ) e /\ B (~Met ` D ) f ) ) -> ( A D B ) = ( e D f ) )
50	28, 42, 48, 49	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> ( A D B ) = ( e D f ) )
51	27, 50	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> z = ( A D B ) )
52	51	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) /\ ( e e. [ A ] .~ /\ f e. [ B ] .~ /\ z = ( e D f ) ) ) -> z = ( A D B ) )
53	52	3anassrs 1290	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) /\ e e. [ A ] .~ ) /\ f e. [ B ] .~ ) /\ z = ( e D f ) ) -> z = ( A D B ) )
54		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = e -> ( a D b ) = ( e D b ) )
55	54	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = e -> ( z = ( a D b ) <-> z = ( e D b ) ) )
56		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = f -> ( e D b ) = ( e D f ) )
57	56	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = f -> ( z = ( e D b ) <-> z = ( e D f ) ) )
58	55, 57	cbvrex2v 3180	. . . . . . . . . 10 |- ( E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) <-> E. e e. [ A ] .~ E. f e. [ B ] .~ z = ( e D f ) )
59	58	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) -> E. e e. [ A ] .~ E. f e. [ B ] .~ z = ( e D f ) )
60	59	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) -> E. e e. [ A ] .~ E. f e. [ B ] .~ z = ( e D f ) )
61	53, 60	r19.29vva 3081	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) ) -> z = ( A D B ) )
62		simpl1 1064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> D e. (PsMet ` X ) )
63		simpl2 1065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> A e. X )
64		psmet0 22113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X ) -> ( A D A ) = 0 )
65	62, 63, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A D A ) = 0 )
66		relelec 7787	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel .~ -> ( A e. [ A ] .~ <-> A .~ A ) )
67	62, 35, 66	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A e. [ A ] .~ <-> A .~ A ) )
68	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> .~ = (~Met ` D ) )
69	68	breqd 4664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A .~ A <-> A (~Met ` D ) A ) )
70		metidv 29935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ A e. X ) ) -> ( A (~Met ` D ) A <-> ( A D A ) = 0 ) )
71	62, 63, 63, 70	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A (~Met ` D ) A <-> ( A D A ) = 0 ) )
72	67, 69, 71	3bitrd 294	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( A e. [ A ] .~ <-> ( A D A ) = 0 ) )
73	65, 72	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> A e. [ A ] .~ )
74		simpl3 1066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> B e. X )
75		psmet0 22113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ B e. X ) -> ( B D B ) = 0 )
76	62, 74, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B D B ) = 0 )
77		relelec 7787	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel .~ -> ( B e. [ B ] .~ <-> B .~ B ) )
78	62, 35, 77	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B e. [ B ] .~ <-> B .~ B ) )
79	68	breqd 4664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B .~ B <-> B (~Met ` D ) B ) )
80		metidv 29935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( B e. X /\ B e. X ) ) -> ( B (~Met ` D ) B <-> ( B D B ) = 0 ) )
81	62, 74, 74, 80	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B (~Met ` D ) B <-> ( B D B ) = 0 ) )
82	78, 79, 81	3bitrd 294	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> ( B e. [ B ] .~ <-> ( B D B ) = 0 ) )
83	76, 82	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> B e. [ B ] .~ )
84		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> z = ( A D B ) )
85		rspceov 6692	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. [ A ] .~ /\ B e. [ B ] .~ /\ z = ( A D B ) ) -> E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) )
86	73, 83, 84, 85	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) /\ z = ( A D B ) ) -> E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) )
87	61, 86	impbida 877	. . . . . 6 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) <-> z = ( A D B ) ) )
88	87	abbidv 2741	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } = { z | z = ( A D B ) } )
89		df-sn 4178	. . . . 5 |- { ( A D B ) } = { z | z = ( A D B ) }
90	88, 89	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } = { ( A D B ) } )
91	90	unieqd 4446	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } = U. { ( A D B ) } )
92		ovex 6678	. . . 4 |- ( A D B ) e. _V
93	92	unisn 4451	. . 3 |- U. { ( A D B ) } = ( A D B )
94	91, 93	syl6eq 2672	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> U. { z | E. a e. [ A ] .~ E. b e. [ B ] .~ z = ( a D b ) } = ( A D B ) )
95	4, 26, 94	3eqtrd 2660	1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( [ A ] .~ (pstoMet ` D ) [ B ] .~ ) = ( A D B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   Rel wrel 5119   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   [cec 7740   /.cqs 7741   0cc0 9936  PsMetcpsmet 19730  ~Metcmetid 29929  pstoMetcpstm 29930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-xadd 11947  df-psmet 19738  df-metid 29931  df-pstm 29932

This theorem is referenced by:  pstmxmet  29940