Theorem elioomnf 12268

Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elioomnf	|- ( A e. RR* -> ( B e. ( -oo (,) A ) <-> ( B e. RR /\ B < A ) ) )

Proof of Theorem elioomnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 10096	. . 3 |- -oo e. RR*
2		elioo2 12216	. . 3 |- ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B e. ( -oo (,) A ) <-> ( B e. RR /\ -oo < B /\ B < A ) ) )
3	1, 2	mpan 706	. 2 |- ( A e. RR* -> ( B e. ( -oo (,) A ) <-> ( B e. RR /\ -oo < B /\ B < A ) ) )
4		an32 839	. . 3 |- ( ( ( B e. RR /\ -oo < B ) /\ B < A ) <-> ( ( B e. RR /\ B < A ) /\ -oo < B ) )
5		df-3an 1039	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ -oo < B /\ B < A ) <-> ( ( B e. RR /\ -oo < B ) /\ B < A ) )
6		mnflt 11957	. . . . 5 |- ( B e. RR -> -oo < B )
7	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) -> -oo < B )
8	7	pm4.71i 664	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ B < A ) <-> ( ( B e. RR /\ B < A ) /\ -oo < B ) )
9	4, 5, 8	3bitr4i 292	. 2 |- ( ( B e. RR /\ -oo < B /\ B < A ) <-> ( B e. RR /\ B < A ) )
10	3, 9	syl6bb 276	1 |- ( A e. RR* -> ( B e. ( -oo (,) A ) <-> ( B e. RR /\ B < A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   (,)cioo 12175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ioo 12179

This theorem is referenced by:  bndth  22757  mbfmulc2lem  23414  mbfposr  23419  ismbf3d  23421  mbfi1fseqlem4  23485  itg2monolem1  23517  dvne0  23774  mbfposadd  33457  itg2addnclem2  33462  iblabsnclem  33473  ftc1anclem1  33485  ftc1anclem6  33490  rfcnpre2  39190