Theorem iblabsnclem 33473

Description: Lemma for iblabsnc 33474; cf. iblabslem 23594. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblabsnc.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
iblabsnc.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
iblabsnclem.1	|- G = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
iblabsnclem.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 )
iblabsnclem.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
iblabsnclem	|- ( ph -> ( G e. MblFn /\ ( S.2 ` G ) e. RR ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   G( x)   V( x)

Proof of Theorem iblabsnclem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblabsnclem.1	. . 3 |- G = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
2		iblabsnclem.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 )
3		iblabsnclem.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. RR )
4	3	iblrelem 23557	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
5	2, 4	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
6	5	simp1d 1073	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn )
7	6, 3	mbfdm2 23405	. . . . 5 |- ( ph -> A e. dom vol )
8		mblss 23299	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
9	7, 8	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
10		rembl 23308	. . . . 5 |- RR e. dom vol
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR e. dom vol )
12	3	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. CC )
13	12	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR )
14		0re 10040	. . . . 5 |- 0 e. RR
15		ifcl 4130	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) e. RR )
16	13, 14, 15	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) e. RR )
17		eldifn 3733	. . . . . 6 |- ( x e. ( RR \ A ) -> -. x e. A )
18	17	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. x e. A )
19		iffalse 4095	. . . . 5 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = 0 )
20	18, 19	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = 0 )
21		iftrue 4092	. . . . . 6 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
22	21	mpteq2ia 4740	. . . . 5 |- ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) )
23		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) )
24	13, 23	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) : A --> RR )
25	13	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR )
26	25	biantrurd 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( y < ( abs ` ( F ` B ) ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ y < ( abs ` ( F ` B ) ) ) ) )
27	3	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( F ` B ) e. RR )
28		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
29	27, 28	absled 14169	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) <_ y <-> ( -u y <_ ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ y ) ) )
30	29	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( -. ( abs ` ( F ` B ) ) <_ y <-> -. ( -u y <_ ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ y ) ) )
31	28, 25	ltnled 10184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( y < ( abs ` ( F ` B ) ) <-> -. ( abs ` ( F ` B ) ) <_ y ) )
32		renegcl 10344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. RR -> -u y e. RR )
33	32	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. RR -> -u y e. RR* )
34	33	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR* )
35		elioomnf 12268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u y e. RR* -> ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( F ` B ) < -u y ) ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( F ` B ) < -u y ) ) )
37	27	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) < -u y <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( F ` B ) < -u y ) ) )
38	28	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> -u y e. RR )
39	27, 38	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) < -u y <-> -. -u y <_ ( F ` B ) ) )
40	36, 37, 39	3bitr2d 296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) <-> -. -u y <_ ( F ` B ) ) )
41		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. RR -> y e. RR* )
42	41	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> y e. RR* )
43		elioopnf 12267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR* -> ( ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ y < ( F ` B ) ) ) )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ y < ( F ` B ) ) ) )
45	27	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( y < ( F ` B ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ y < ( F ` B ) ) ) )
46	28, 27	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( y < ( F ` B ) <-> -. ( F ` B ) <_ y ) )
47	44, 45, 46	3bitr2d 296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) <-> -. ( F ` B ) <_ y ) )
48	40, 47	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) <-> ( -. -u y <_ ( F ` B ) \/ -. ( F ` B ) <_ y ) ) )
49		ianor 509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( -u y <_ ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ y ) <-> ( -. -u y <_ ( F ` B ) \/ -. ( F ` B ) <_ y ) )
50	48, 49	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) <-> -. ( -u y <_ ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ y ) ) )
51	30, 31, 50	3bitr4rd 301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) <-> y < ( abs ` ( F ` B ) ) ) )
52		elioopnf 12267	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ y < ( abs ` ( F ` B ) ) ) ) )
53	42, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ y < ( abs ` ( F ` B ) ) ) ) )
54	26, 51, 53	3bitr4rd 301	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
55	54	rabbidva 3188	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> { x e. A | ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) } = { x e. A | ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) } )
56	23	mptpreima 5628	. . . . . . . 8 |- ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( y (,) +oo ) ) = { x e. A | ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( y (,) +oo ) }
57		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A |-> ( F ` B ) ) = ( x e. A |-> ( F ` B ) )
58	57	mptpreima 5628	. . . . . . . . . 10 |- ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) = { x e. A | ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) }
59	57	mptpreima 5628	. . . . . . . . . 10 |- ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) = { x e. A | ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) }
60	58, 59	uneq12i 3765	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) = ( { x e. A | ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) } u. { x e. A | ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) } )
61		unrab 3898	. . . . . . . . 9 |- ( { x e. A | ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) } u. { x e. A | ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) } ) = { x e. A | ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) }
62	60, 61	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) = { x e. A | ( ( F ` B ) e. ( -oo (,) -u y ) \/ ( F ` B ) e. ( y (,) +oo ) ) }
63	55, 56, 62	3eqtr4g 2681	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( y (,) +oo ) ) = ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
64		iblmbf 23534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. L^1 -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn )
65	2, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn )
66	3, 57	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR )
67		mbfima 23399	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) e. dom vol )
68		mbfima 23399	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
69		unmbl 23305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) e. dom vol /\ ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol ) -> ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
70	67, 68, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR ) -> ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
71	65, 66, 70	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
72	71	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -oo (,) -u y ) ) u. ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( y (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
73	63, 72	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
74		elioomnf 12268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR* -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` B ) ) < y ) ) )
75	42, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` B ) ) < y ) ) )
76	25	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) < y <-> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` B ) ) < y ) ) )
77	27, 28	absltd 14168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) < y <-> ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
78	75, 76, 77	3bitr2d 296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
79	27	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) ) )
80	78, 79	bitrd 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) ) )
81		3anass 1042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ ( -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
82	80, 81	syl6bbr 278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
83		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u y e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
84	33, 41, 83	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> ( ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
85	84	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ -u y < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) < y ) ) )
86	82, 85	bitr4d 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) ) )
87	86	rabbidva 3188	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> { x e. A | ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) } = { x e. A | ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) } )
88	23	mptpreima 5628	. . . . . . . 8 |- ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( -oo (,) y ) ) = { x e. A | ( abs ` ( F ` B ) ) e. ( -oo (,) y ) }
89	57	mptpreima 5628	. . . . . . . 8 |- ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) = { x e. A | ( F ` B ) e. ( -u y (,) y ) }
90	87, 88, 89	3eqtr4g 2681	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( -oo (,) y ) ) = ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) )
91		mbfima 23399	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A |-> ( F ` B ) ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) e. dom vol )
92	65, 66, 91	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) e. dom vol )
93	92	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( F ` B ) ) " ( -u y (,) y ) ) e. dom vol )
94	90, 93	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
95	24, 7, 73, 94	ismbf2d 23408	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` ( F ` B ) ) ) e. MblFn )
96	22, 95	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
97	9, 11, 16, 20, 96	mbfss 23413	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
98	1, 97	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> G e. MblFn )
99		reex 10027	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
100	99	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR e. _V )
101		ifan 4134	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 )
102		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
103	3, 14, 102	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
104		max1 12016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ ( F ` B ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
105	14, 3, 104	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
106		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) ) )
107	103, 105, 106	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
108		0e0icopnf 12282	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
110	107, 109	ifclda 4120	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
111	101, 110	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
112	111	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
113		ifan 4134	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 )
114	3	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( F ` B ) e. RR )
115		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u ( F ` B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
116	114, 14, 115	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. RR )
117		max1 12016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ -u ( F ` B ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
118	14, 114, 117	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
119		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) )
120	116, 118, 119	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
121	120, 109	ifclda 4120	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
122	113, 121	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
123	122	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
124		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) )
125		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) )
126	100, 112, 123, 124, 125	offval2 6914	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) )
127	101, 113	oveq12i 6662	. . . . . . . . 9 |- ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) )
128		max0add 14050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` B ) e. RR -> ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
129	3, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
130		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
131	130	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) )
132		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
133	132	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
134	131, 133	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = ( if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) )
135	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( F ` B ) ) )
136	129, 134, 135	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
137	136	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) )
138		00id 10211	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 0 ) = 0
139		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
140		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) = 0 )
141	139, 140	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
142	138, 141, 19	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
143	137, 142	pm2.61d1 171	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( if ( x e. A , if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) + if ( x e. A , if ( 0 <_ -u ( F ` B ) , -u ( F ` B ) , 0 ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
144	127, 143	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) )
145	144	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR |-> ( if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) + if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) )
146	126, 145	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( F ` B ) ) , 0 ) ) )
147	146, 1	syl6reqr 2675	. . . . 5 |- ( ph -> G = ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) )
148	147	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) = ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) )
149	111	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
150	101, 139	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( -. x e. A -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) = 0 )
151	18, 150	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) = 0 )
152		ibar 525	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( 0 <_ ( F ` B ) <-> ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) ) )
153	152	ifbid 4108	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) )
154	153	mpteq2ia 4740	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) )
155	3, 6	mbfpos 23418	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ ( F ` B ) , ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
156	154, 155	syl5eqelr 2706	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
157	9, 11, 149, 151, 156	mbfss 23413	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
158		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) )
159	112, 158	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
160	5	simp2d 1074	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
161		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) )
162	123, 161	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
163	5	simp3d 1075	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
164	157, 159, 160, 162, 163	itg2addnc 33464	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) )
165	148, 164	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) )
166	160, 163	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( F ` B ) ) , ( F ` B ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u ( F ` B ) ) , -u ( F ` B ) , 0 ) ) ) ) e. RR )
167	165, 166	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR )
168	98, 167	jca 554	1 |- ( ph -> ( G e. MblFn /\ ( S.2 ` G ) e. RR ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   abscabs 13974   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  iblabsnc  33474  iblmulc2nc  33475