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Theorem ismbf3d 23421

Description: Simplified form of ismbfd 23407. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ismbf3d.1
ismbf3d.2	$/\$

**Assertion**
Ref	Expression
ismbf3d	MblFn

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem ismbf3d Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbf3d.1	. 2
2		fimacnv 6347	. . . 4
3	1, 2	syl 17	. . 3
4		imaiun 6503	. . . . 5
5		ioossre 12235	. . . . . . . . 9
6	5	rgenw 2924	. . . . . . . 8
7		iunss 4561	. . . . . . . 8
8	6, 7	mpbir 221	. . . . . . 7
9		renegcl 10344	. . . . . . . . . . 11
10		arch 11289	. . . . . . . . . . 11
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10
12		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
13	12	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
14		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13
15		ltnegcon1 10529	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
16	14, 15	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
17	14	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
18	17	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
19	18	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
20		elioopnf 12267	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
22	13, 16, 21	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . 11 $/\$
23	22	rexbidva 3049	. . . . . . . . . 10
24	11, 23	mpbid 222	. . . . . . . . 9
25		eliun 4524	. . . . . . . . 9
26	24, 25	sylibr 224	. . . . . . . 8
27	26	ssriv 3607	. . . . . . 7
28	8, 27	eqssi 3619	. . . . . 6
29	28	imaeq2i 5464	. . . . 5
30	4, 29	eqtr3i 2646	. . . 4
31		ismbf3d.2	. . . . . . . 8 $/\$
32	31	ralrimiva 2966	. . . . . . 7
33	14	renegcld 10457	. . . . . . 7
34		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
35	34	imaeq2d 5466	. . . . . . . . 9
36	35	eleq1d 2686	. . . . . . . 8
37	36	rspccva 3308	. . . . . . 7 $/\$
38	32, 33, 37	syl2an 494	. . . . . 6 $/\$
39	38	ralrimiva 2966	. . . . 5
40		iunmbl 23321	. . . . 5
41	39, 40	syl 17	. . . 4
42	30, 41	syl5eqelr 2706	. . 3
43	3, 42	eqeltrrd 2702	. 2
44		imaiun 6503	. . . . . . 7
45		eliun 4524	. . . . . . . . . 10
46		3simpb 1059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
47		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
48		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
49	48	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
50	49	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
51	47, 50	ltsubrpd 11904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
52		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
53		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
54		nnrecre 11057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
55		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
56	53, 54, 55	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
57	56	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
58		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
59	52, 57, 47, 58	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	51, 59	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
61	60	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
62	61	imdistanda 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	46, 62	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65		elioc2 12236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
66	64, 56, 65	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
69		elioomnf 12268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
72	63, 66, 71	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	72	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
74	73, 70	sylibd 229	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
75		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	56	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	54	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	80, 82, 76, 83	ltsub13d 10633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	76, 79, 84	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	66	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	76, 78, 85, 86	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	81, 75	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
89		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
90	75, 81	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
91	89, 90	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
92		nnrecl 11290	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
93	88, 91, 92	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
94	87, 93	reximddv 3018	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
95	94	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
96	74, 95	impbid 202	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
97	96, 70	bitr4d 271	. . . . . . . . . 10 $/\$
98	45, 97	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 $/\$
99	98	eqrdv 2620	. . . . . . . 8 $/\$
100	99	imaeq2d 5466	. . . . . . 7 $/\$
101	44, 100	syl5eqr 2670	. . . . . 6 $/\$
102	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
103		ffun 6048	. . . . . . . . . . 11
104		funcnvcnv 5956	. . . . . . . . . . 11
105		imadif 5973	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
106	102, 103, 104, 105	4syl 19	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$ $\$
107	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
108	56	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . 15
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
111		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . . . . 15
112	56, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
113		ltpnf 11954	. . . . . . . . . . . . . . 15
114	56, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
115		df-ioc 12180	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
116		df-ioo 12179	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
117		xrltnle 10105	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118		xrlelttr 11987	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
119		xrlttr 11973	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
120	115, 116, 117, 116, 118, 119	ixxun 12191	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	107, 108, 110, 112, 114, 120	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
122		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . 13
123		ioomax 12248	. . . . . . . . . . . . 13
124	121, 122, 123	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
125		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . 13
126		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . 14
127	115, 116, 117	ixxdisj 12190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
128	64, 109, 127	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . . . . 15
129	108, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
130	126, 129	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
131		uneqdifeq 4057	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
132	125, 130, 131	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$
133	124, 132	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$
134	133	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$
135	106, 134	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$
136	42	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
137	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
138		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14
139	138	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . 13
140	139	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12
141	140	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11
142	56, 137, 141	sylc 65	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
143		difmbl 23311	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
144	136, 142, 143	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$
145	135, 144	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
146	145	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 $/\$
147		iunmbl 23321	. . . . . . 7
148	146, 147	syl 17	. . . . . 6 $/\$
149	101, 148	eqeltrrd 2702	. . . . 5 $/\$
150	149	ralrimiva 2966	. . . 4
151		oveq2 6658	. . . . . . 7
152	151	imaeq2d 5466	. . . . . 6
153	152	eleq1d 2686	. . . . 5
154	153	cbvralv 3171	. . . 4
155	150, 154	sylib 208	. . 3
156	155	r19.21bi 2932	. 2 $/\$
157	1, 43, 31, 156	ismbf2d 23408	1 MblFn

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

ciun 4520 class class class wbr 4653

ccnv 5113

cdm 5114

cima 5117

wfun 5882

wf 5884 (class class class)co 6650

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

cpnf 10071

cmnf 10072

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

crp 11832

cioo 12175

cioc 12176

cvol 23232 MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cc 9257 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xadd 11947 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-xmet 19739 df-met 19740 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-mbf 23388

This theorem is referenced by: mbfaddlem 23427 mbfsup 23431

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