Theorem mbfmulc2lem 23414

Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmulc2re.1	|- ( ph -> F e. MblFn )
mbfmulc2re.2	|- ( ph -> B e. RR )
mbfmulc2lem.3	|- ( ph -> F : A --> RR )

Assertion

Ref	Expression
mbfmulc2lem	|- ( ph -> ( ( A X. { B } ) oF x. F ) e. MblFn )

Proof of Theorem mbfmulc2lem

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x x. y ) e. RR )
2	1	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x x. y ) e. RR )
3		mbfmulc2re.2	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
4		fconst6g 6094	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> ( A X. { B } ) : A --> RR )
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( A X. { B } ) : A --> RR )
6		mbfmulc2lem.3	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> RR )
7		fdm 6051	. . . . . . 7 |- ( F : A --> RR -> dom F = A )
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom F = A )
9		mbfmulc2re.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. MblFn )
10		mbfdm 23395	. . . . . . 7 |- ( F e. MblFn -> dom F e. dom vol )
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom F e. dom vol )
12	8, 11	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ph -> A e. dom vol )
13		inidm 3822	. . . . 5 |- ( A i^i A ) = A
14	2, 5, 6, 12, 12, 13	off 6912	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A X. { B } ) oF x. F ) : A --> RR )
15	14	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ B < 0 ) -> ( ( A X. { B } ) oF x. F ) : A --> RR )
16	12	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ B < 0 ) -> A e. dom vol )
17		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> y e. RR )
18	17	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> y e. RR* )
19		elioopnf 12267	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR* -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. RR /\ y < ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) ) ) )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. RR /\ y < ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) ) ) )
21	14	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. RR )
22	21	ad2ant2rl 785	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. RR )
23	22	biantrurd 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( y < ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) <-> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. RR /\ y < ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) ) ) )
24	6	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. RR )
25	24	ad2ant2rl 785	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( F ` z ) e. RR )
26	25	biantrurd 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` z ) < ( y / B ) <-> ( ( F ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) < ( y / B ) ) ) )
27		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> z e. A )
28	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> A e. dom vol )
29	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> B e. RR )
30	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> F : A --> RR )
31		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : A --> RR -> F Fn A )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> F Fn A )
33		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
34	28, 29, 32, 33	ofc1 6920	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) = ( B x. ( F ` z ) ) )
35	27, 34	mpdan 702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) = ( B x. ( F ` z ) ) )
36	35	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( y < ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) <-> y < ( B x. ( F ` z ) ) ) )
37	17	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> -u y e. RR )
38	29	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> -u B e. RR )
39		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> B < 0 )
40	29	lt0neg1d 10597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( B < 0 <-> 0 < -u B ) )
41	39, 40	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> 0 < -u B )
42		ltmuldiv2 10897	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` z ) e. RR /\ -u y e. RR /\ ( -u B e. RR /\ 0 < -u B ) ) -> ( ( -u B x. ( F ` z ) ) < -u y <-> ( F ` z ) < ( -u y / -u B ) ) )
43	25, 37, 38, 41, 42	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( -u B x. ( F ` z ) ) < -u y <-> ( F ` z ) < ( -u y / -u B ) ) )
44	29	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> B e. CC )
45	25	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
46	44, 45	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( -u B x. ( F ` z ) ) = -u ( B x. ( F ` z ) ) )
47	46	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( -u B x. ( F ` z ) ) < -u y <-> -u ( B x. ( F ` z ) ) < -u y ) )
48	35, 22	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( B x. ( F ` z ) ) e. RR )
49	17, 48	ltnegd 10605	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( y < ( B x. ( F ` z ) ) <-> -u ( B x. ( F ` z ) ) < -u y ) )
50	47, 49	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( -u B x. ( F ` z ) ) < -u y <-> y < ( B x. ( F ` z ) ) ) )
51	43, 50	bitr3d 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` z ) < ( -u y / -u B ) <-> y < ( B x. ( F ` z ) ) ) )
52	17	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> y e. CC )
53	39	lt0ne0d 10593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> B =/= 0 )
54	52, 44, 53	div2negd 10816	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( -u y / -u B ) = ( y / B ) )
55	54	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` z ) < ( -u y / -u B ) <-> ( F ` z ) < ( y / B ) ) )
56	36, 51, 55	3bitr2d 296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( y < ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) <-> ( F ` z ) < ( y / B ) ) )
57	17, 29, 53	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( y / B ) e. RR )
58	57	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( y / B ) e. RR* )
59		elioomnf 12268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y / B ) e. RR* -> ( ( F ` z ) e. ( -oo (,) ( y / B ) ) <-> ( ( F ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) < ( y / B ) ) ) )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` z ) e. ( -oo (,) ( y / B ) ) <-> ( ( F ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) < ( y / B ) ) ) )
61	26, 56, 60	3bitr4d 300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( y < ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) <-> ( F ` z ) e. ( -oo (,) ( y / B ) ) ) )
62	20, 23, 61	3bitr2d 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( F ` z ) e. ( -oo (,) ( y / B ) ) ) )
63	62	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( F ` z ) e. ( -oo (,) ( y / B ) ) ) )
64	63	pm5.32da 673	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ y e. RR ) -> ( ( z e. A /\ ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( y (,) +oo ) ) <-> ( z e. A /\ ( F ` z ) e. ( -oo (,) ( y / B ) ) ) ) )
65		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) : A --> RR -> ( ( A X. { B } ) oF x. F ) Fn A )
66	14, 65	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { B } ) oF x. F ) Fn A )
67	66	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ y e. RR ) -> ( ( A X. { B } ) oF x. F ) Fn A )
68		elpreima 6337	. . . . . . 7 |- ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) Fn A -> ( z e. ( `' ( ( A X. { B } ) oF x. F ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( z e. A /\ ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
69	67, 68	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ y e. RR ) -> ( z e. ( `' ( ( A X. { B } ) oF x. F ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( z e. A /\ ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
70	6, 31	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F Fn A )
71	70	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ y e. RR ) -> F Fn A )
72		elpreima 6337	. . . . . . 7 |- ( F Fn A -> ( z e. ( `' F " ( -oo (,) ( y / B ) ) ) <-> ( z e. A /\ ( F ` z ) e. ( -oo (,) ( y / B ) ) ) ) )
73	71, 72	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ y e. RR ) -> ( z e. ( `' F " ( -oo (,) ( y / B ) ) ) <-> ( z e. A /\ ( F ` z ) e. ( -oo (,) ( y / B ) ) ) ) )
74	64, 69, 73	3bitr4d 300	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ y e. RR ) -> ( z e. ( `' ( ( A X. { B } ) oF x. F ) " ( y (,) +oo ) ) <-> z e. ( `' F " ( -oo (,) ( y / B ) ) ) ) )
75	74	eqrdv 2620	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ y e. RR ) -> ( `' ( ( A X. { B } ) oF x. F ) " ( y (,) +oo ) ) = ( `' F " ( -oo (,) ( y / B ) ) ) )
76		mbfima 23399	. . . . . 6 |- ( ( F e. MblFn /\ F : A --> RR ) -> ( `' F " ( -oo (,) ( y / B ) ) ) e. dom vol )
77	9, 6, 76	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' F " ( -oo (,) ( y / B ) ) ) e. dom vol )
78	77	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ y e. RR ) -> ( `' F " ( -oo (,) ( y / B ) ) ) e. dom vol )
79	75, 78	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ y e. RR ) -> ( `' ( ( A X. { B } ) oF x. F ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
80		elioomnf 12268	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR* -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. RR /\ ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) < y ) ) )
81	18, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. RR /\ ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) < y ) ) )
82	22	biantrurd 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) < y <-> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. RR /\ ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) < y ) ) )
83	25	biantrurd 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( y / B ) < ( F ` z ) <-> ( ( F ` z ) e. RR /\ ( y / B ) < ( F ` z ) ) ) )
84	35	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) < y <-> ( B x. ( F ` z ) ) < y ) )
85	46	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( -u y < ( -u B x. ( F ` z ) ) <-> -u y < -u ( B x. ( F ` z ) ) ) )
86	54	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( -u y / -u B ) < ( F ` z ) <-> ( y / B ) < ( F ` z ) ) )
87		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u y e. RR /\ ( F ` z ) e. RR /\ ( -u B e. RR /\ 0 < -u B ) ) -> ( ( -u y / -u B ) < ( F ` z ) <-> -u y < ( -u B x. ( F ` z ) ) ) )
88	37, 25, 38, 41, 87	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( -u y / -u B ) < ( F ` z ) <-> -u y < ( -u B x. ( F ` z ) ) ) )
89	86, 88	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( y / B ) < ( F ` z ) <-> -u y < ( -u B x. ( F ` z ) ) ) )
90	48, 17	ltnegd 10605	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( B x. ( F ` z ) ) < y <-> -u y < -u ( B x. ( F ` z ) ) ) )
91	85, 89, 90	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( y / B ) < ( F ` z ) <-> ( B x. ( F ` z ) ) < y ) )
92	84, 91	bitr4d 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) < y <-> ( y / B ) < ( F ` z ) ) )
93		elioopnf 12267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y / B ) e. RR* -> ( ( F ` z ) e. ( ( y / B ) (,) +oo ) <-> ( ( F ` z ) e. RR /\ ( y / B ) < ( F ` z ) ) ) )
94	58, 93	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` z ) e. ( ( y / B ) (,) +oo ) <-> ( ( F ` z ) e. RR /\ ( y / B ) < ( F ` z ) ) ) )
95	83, 92, 94	3bitr4d 300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) < y <-> ( F ` z ) e. ( ( y / B ) (,) +oo ) ) )
96	81, 82, 95	3bitr2d 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( F ` z ) e. ( ( y / B ) (,) +oo ) ) )
97	96	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( F ` z ) e. ( ( y / B ) (,) +oo ) ) )
98	97	pm5.32da 673	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ y e. RR ) -> ( ( z e. A /\ ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( -oo (,) y ) ) <-> ( z e. A /\ ( F ` z ) e. ( ( y / B ) (,) +oo ) ) ) )
99		elpreima 6337	. . . . . . 7 |- ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) Fn A -> ( z e. ( `' ( ( A X. { B } ) oF x. F ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( z e. A /\ ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
100	67, 99	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ y e. RR ) -> ( z e. ( `' ( ( A X. { B } ) oF x. F ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( z e. A /\ ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
101		elpreima 6337	. . . . . . 7 |- ( F Fn A -> ( z e. ( `' F " ( ( y / B ) (,) +oo ) ) <-> ( z e. A /\ ( F ` z ) e. ( ( y / B ) (,) +oo ) ) ) )
102	71, 101	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ y e. RR ) -> ( z e. ( `' F " ( ( y / B ) (,) +oo ) ) <-> ( z e. A /\ ( F ` z ) e. ( ( y / B ) (,) +oo ) ) ) )
103	98, 100, 102	3bitr4d 300	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ y e. RR ) -> ( z e. ( `' ( ( A X. { B } ) oF x. F ) " ( -oo (,) y ) ) <-> z e. ( `' F " ( ( y / B ) (,) +oo ) ) ) )
104	103	eqrdv 2620	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ y e. RR ) -> ( `' ( ( A X. { B } ) oF x. F ) " ( -oo (,) y ) ) = ( `' F " ( ( y / B ) (,) +oo ) ) )
105		mbfima 23399	. . . . . 6 |- ( ( F e. MblFn /\ F : A --> RR ) -> ( `' F " ( ( y / B ) (,) +oo ) ) e. dom vol )
106	9, 6, 105	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' F " ( ( y / B ) (,) +oo ) ) e. dom vol )
107	106	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ y e. RR ) -> ( `' F " ( ( y / B ) (,) +oo ) ) e. dom vol )
108	104, 107	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( ph /\ B < 0 ) /\ y e. RR ) -> ( `' ( ( A X. { B } ) oF x. F ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
109	15, 16, 79, 108	ismbf2d 23408	. 2 |- ( ( ph /\ B < 0 ) -> ( ( A X. { B } ) oF x. F ) e. MblFn )
110	12	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> A e. dom vol )
111	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> F : A --> RR )
112		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> B = 0 )
113		0cn 10032	. . . . 5 |- 0 e. CC
114	112, 113	syl6eqel 2709	. . . 4 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> B e. CC )
115		0cnd 10033	. . . 4 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> 0 e. CC )
116		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ B = 0 ) /\ x e. RR ) -> B = 0 )
117	116	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B = 0 ) /\ x e. RR ) -> ( B x. x ) = ( 0 x. x ) )
118		mul02lem2 10213	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> ( 0 x. x ) = 0 )
119	118	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B = 0 ) /\ x e. RR ) -> ( 0 x. x ) = 0 )
120	117, 119	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B = 0 ) /\ x e. RR ) -> ( B x. x ) = 0 )
121	110, 111, 114, 115, 120	caofid2 6928	. . 3 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> ( ( A X. { B } ) oF x. F ) = ( A X. { 0 } ) )
122		mbfconst 23402	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ 0 e. CC ) -> ( A X. { 0 } ) e. MblFn )
123	110, 113, 122	sylancl 694	. . 3 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> ( A X. { 0 } ) e. MblFn )
124	121, 123	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ph /\ B = 0 ) -> ( ( A X. { B } ) oF x. F ) e. MblFn )
125	14	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < B ) -> ( ( A X. { B } ) oF x. F ) : A --> RR )
126	12	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ 0 < B ) -> A e. dom vol )
127		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> y e. RR )
128	127	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> y e. RR* )
129	128, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. RR /\ y < ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) ) ) )
130	21	ad2ant2rl 785	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. RR )
131	130	biantrurd 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( y < ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) <-> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. RR /\ y < ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) ) ) )
132	24	ad2ant2rl 785	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( F ` z ) e. RR )
133	132	biantrurd 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( y / B ) < ( F ` z ) <-> ( ( F ` z ) e. RR /\ ( y / B ) < ( F ` z ) ) ) )
134		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
135	12, 3, 70, 134	ofc1 6920	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) = ( B x. ( F ` z ) ) )
136	135	ad2ant2rl 785	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) = ( B x. ( F ` z ) ) )
137	136	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( y < ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) <-> y < ( B x. ( F ` z ) ) ) )
138	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> B e. RR )
139		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> 0 < B )
140		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR /\ ( F ` z ) e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( ( y / B ) < ( F ` z ) <-> y < ( B x. ( F ` z ) ) ) )
141	127, 132, 138, 139, 140	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( y / B ) < ( F ` z ) <-> y < ( B x. ( F ` z ) ) ) )
142	137, 141	bitr4d 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( y < ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) <-> ( y / B ) < ( F ` z ) ) )
143	138, 139	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> B e. RR+ )
144	127, 143	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( y / B ) e. RR )
145	144	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( y / B ) e. RR* )
146	145, 93	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` z ) e. ( ( y / B ) (,) +oo ) <-> ( ( F ` z ) e. RR /\ ( y / B ) < ( F ` z ) ) ) )
147	133, 142, 146	3bitr4d 300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( y < ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) <-> ( F ` z ) e. ( ( y / B ) (,) +oo ) ) )
148	129, 131, 147	3bitr2d 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( F ` z ) e. ( ( y / B ) (,) +oo ) ) )
149	148	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( F ` z ) e. ( ( y / B ) (,) +oo ) ) )
150	149	pm5.32da 673	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ y e. RR ) -> ( ( z e. A /\ ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( y (,) +oo ) ) <-> ( z e. A /\ ( F ` z ) e. ( ( y / B ) (,) +oo ) ) ) )
151	66	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ y e. RR ) -> ( ( A X. { B } ) oF x. F ) Fn A )
152	151, 68	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ y e. RR ) -> ( z e. ( `' ( ( A X. { B } ) oF x. F ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( z e. A /\ ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
153	70	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ y e. RR ) -> F Fn A )
154	153, 101	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ y e. RR ) -> ( z e. ( `' F " ( ( y / B ) (,) +oo ) ) <-> ( z e. A /\ ( F ` z ) e. ( ( y / B ) (,) +oo ) ) ) )
155	150, 152, 154	3bitr4d 300	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ y e. RR ) -> ( z e. ( `' ( ( A X. { B } ) oF x. F ) " ( y (,) +oo ) ) <-> z e. ( `' F " ( ( y / B ) (,) +oo ) ) ) )
156	155	eqrdv 2620	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ y e. RR ) -> ( `' ( ( A X. { B } ) oF x. F ) " ( y (,) +oo ) ) = ( `' F " ( ( y / B ) (,) +oo ) ) )
157	106	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ y e. RR ) -> ( `' F " ( ( y / B ) (,) +oo ) ) e. dom vol )
158	156, 157	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ y e. RR ) -> ( `' ( ( A X. { B } ) oF x. F ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
159	128, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. RR /\ ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) < y ) ) )
160	130	biantrurd 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) < y <-> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. RR /\ ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) < y ) ) )
161		ltmuldiv2 10897	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` z ) e. RR /\ y e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( ( B x. ( F ` z ) ) < y <-> ( F ` z ) < ( y / B ) ) )
162	132, 127, 138, 139, 161	syl112anc 1330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( B x. ( F ` z ) ) < y <-> ( F ` z ) < ( y / B ) ) )
163	136	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) < y <-> ( B x. ( F ` z ) ) < y ) )
164	145, 59	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` z ) e. ( -oo (,) ( y / B ) ) <-> ( ( F ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) < ( y / B ) ) ) )
165	132	biantrurd 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` z ) < ( y / B ) <-> ( ( F ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) < ( y / B ) ) ) )
166	164, 165	bitr4d 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` z ) e. ( -oo (,) ( y / B ) ) <-> ( F ` z ) < ( y / B ) ) )
167	162, 163, 166	3bitr4d 300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) < y <-> ( F ` z ) e. ( -oo (,) ( y / B ) ) ) )
168	159, 160, 167	3bitr2d 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ ( y e. RR /\ z e. A ) ) -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( F ` z ) e. ( -oo (,) ( y / B ) ) ) )
169	168	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> ( ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( -oo (,) y ) <-> ( F ` z ) e. ( -oo (,) ( y / B ) ) ) )
170	169	pm5.32da 673	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ y e. RR ) -> ( ( z e. A /\ ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( -oo (,) y ) ) <-> ( z e. A /\ ( F ` z ) e. ( -oo (,) ( y / B ) ) ) ) )
171	151, 99	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ y e. RR ) -> ( z e. ( `' ( ( A X. { B } ) oF x. F ) " ( -oo (,) y ) ) <-> ( z e. A /\ ( ( ( A X. { B } ) oF x. F ) ` z ) e. ( -oo (,) y ) ) ) )
172	153, 72	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ y e. RR ) -> ( z e. ( `' F " ( -oo (,) ( y / B ) ) ) <-> ( z e. A /\ ( F ` z ) e. ( -oo (,) ( y / B ) ) ) ) )
173	170, 171, 172	3bitr4d 300	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ y e. RR ) -> ( z e. ( `' ( ( A X. { B } ) oF x. F ) " ( -oo (,) y ) ) <-> z e. ( `' F " ( -oo (,) ( y / B ) ) ) ) )
174	173	eqrdv 2620	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ y e. RR ) -> ( `' ( ( A X. { B } ) oF x. F ) " ( -oo (,) y ) ) = ( `' F " ( -oo (,) ( y / B ) ) ) )
175	77	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ y e. RR ) -> ( `' F " ( -oo (,) ( y / B ) ) ) e. dom vol )
176	174, 175	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( ph /\ 0 < B ) /\ y e. RR ) -> ( `' ( ( A X. { B } ) oF x. F ) " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
177	125, 126, 158, 176	ismbf2d 23408	. 2 |- ( ( ph /\ 0 < B ) -> ( ( A X. { B } ) oF x. F ) e. MblFn )
178		0re 10040	. . 3 |- 0 e. RR
179		lttri4 10122	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( B < 0 \/ B = 0 \/ 0 < B ) )
180	3, 178, 179	sylancl 694	. 2 |- ( ph -> ( B < 0 \/ B = 0 \/ 0 < B ) )
181	109, 124, 177, 180	mpjao3dan 1395	1 |- ( ph -> ( ( A X. { B } ) oF x. F ) e. MblFn )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   -ucneg 10267   / cdiv 10684   (,)cioo 12175   volcvol 23232  MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388

This theorem is referenced by:  mbfmulc2re  23415