Theorem ftc1anclem1 33485

Description: Lemma for ftc1anc 33493- the absolute value of a real-valued measurable function is measurable. Would be trivial with cncombf 23425, but this proof avoids ax-cc 9257. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem1	|- ( ( F : A --> RR /\ F e. MblFn ) -> ( abs o. F ) e. MblFn )

Proof of Theorem ftc1anclem1

Dummy variables x t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 6357	. . . . 5 |- ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) -> ( F ` t ) e. RR )
2	1	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) -> ( F ` t ) e. CC )
3		id 22	. . . . 5 |- ( F : A --> RR -> F : A --> RR )
4	3	feqmptd 6249	. . . 4 |- ( F : A --> RR -> F = ( t e. A |-> ( F ` t ) ) )
5		absf 14077	. . . . . 6 |- abs : CC --> RR
6	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( F : A --> RR -> abs : CC --> RR )
7	6	feqmptd 6249	. . . 4 |- ( F : A --> RR -> abs = ( x e. CC |-> ( abs ` x ) ) )
8		fveq2 6191	. . . 4 |- ( x = ( F ` t ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( F ` t ) ) )
9	2, 4, 7, 8	fmptco 6396	. . 3 |- ( F : A --> RR -> ( abs o. F ) = ( t e. A |-> ( abs ` ( F ` t ) ) ) )
10	9	adantr 481	. 2 |- ( ( F : A --> RR /\ F e. MblFn ) -> ( abs o. F ) = ( t e. A |-> ( abs ` ( F ` t ) ) ) )
11	2	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) -> ( abs ` ( F ` t ) ) e. RR )
12		eqid 2622	. . . . 5 |- ( t e. A |-> ( abs ` ( F ` t ) ) ) = ( t e. A |-> ( abs ` ( F ` t ) ) )
13	11, 12	fmptd 6385	. . . 4 |- ( F : A --> RR -> ( t e. A |-> ( abs ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR )
14	13	adantr 481	. . 3 |- ( ( F : A --> RR /\ F e. MblFn ) -> ( t e. A |-> ( abs ` ( F ` t ) ) ) : A --> RR )
15		fdm 6051	. . . . 5 |- ( F : A --> RR -> dom F = A )
16	15	adantr 481	. . . 4 |- ( ( F : A --> RR /\ F e. MblFn ) -> dom F = A )
17		mbfdm 23395	. . . . 5 |- ( F e. MblFn -> dom F e. dom vol )
18	17	adantl 482	. . . 4 |- ( ( F : A --> RR /\ F e. MblFn ) -> dom F e. dom vol )
19	16, 18	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ( F : A --> RR /\ F e. MblFn ) -> A e. dom vol )
20		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
21		elioopnf 12267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR* -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) e. ( x (,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( F ` t ) ) e. RR /\ x < ( abs ` ( F ` t ) ) ) ) )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) e. ( x (,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( F ` t ) ) e. RR /\ x < ( abs ` ( F ` t ) ) ) ) )
23	11	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) -> ( x < ( abs ` ( F ` t ) ) <-> ( ( abs ` ( F ` t ) ) e. RR /\ x < ( abs ` ( F ` t ) ) ) ) )
24	23	bicomd 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) -> ( ( ( abs ` ( F ` t ) ) e. RR /\ x < ( abs ` ( F ` t ) ) ) <-> x < ( abs ` ( F ` t ) ) ) )
25	22, 24	sylan9bbr 737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) e. ( x (,) +oo ) <-> x < ( abs ` ( F ` t ) ) ) )
26		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR /\ ( abs ` ( F ` t ) ) e. RR ) -> ( x < ( abs ` ( F ` t ) ) <-> -. ( abs ` ( F ` t ) ) <_ x ) )
27	26	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( F ` t ) ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( x < ( abs ` ( F ` t ) ) <-> -. ( abs ` ( F ` t ) ) <_ x ) )
28	11, 27	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( x < ( abs ` ( F ` t ) ) <-> -. ( abs ` ( F ` t ) ) <_ x ) )
29		absle 14055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` t ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) <_ x <-> ( -u x <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ x ) ) )
30	1, 29	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) <_ x <-> ( -u x <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ x ) ) )
31		renegcl 10344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR -> -u x e. RR )
32		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u x e. RR /\ ( F ` t ) e. RR ) -> ( -u x <_ ( F ` t ) <-> -. ( F ` t ) < -u x ) )
33	31, 1, 32	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( -u x <_ ( F ` t ) <-> -. ( F ` t ) < -u x ) )
34	1	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) -> ( ( F ` t ) < -u x <-> ( ( F ` t ) e. RR /\ ( F ` t ) < -u x ) ) )
35	31	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. RR -> -u x e. RR* )
36		elioomnf 12268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -u x e. RR* -> ( ( F ` t ) e. ( -oo (,) -u x ) <-> ( ( F ` t ) e. RR /\ ( F ` t ) < -u x ) ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR -> ( ( F ` t ) e. ( -oo (,) -u x ) <-> ( ( F ` t ) e. RR /\ ( F ` t ) < -u x ) ) )
38	37	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. RR -> ( ( ( F ` t ) e. RR /\ ( F ` t ) < -u x ) <-> ( F ` t ) e. ( -oo (,) -u x ) ) )
39	34, 38	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` t ) < -u x <-> ( F ` t ) e. ( -oo (,) -u x ) ) )
40	39	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( -. ( F ` t ) < -u x <-> -. ( F ` t ) e. ( -oo (,) -u x ) ) )
41	33, 40	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( -u x <_ ( F ` t ) <-> -. ( F ` t ) e. ( -oo (,) -u x ) ) )
42		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` t ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( F ` t ) <_ x <-> -. x < ( F ` t ) ) )
43	1, 42	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` t ) <_ x <-> -. x < ( F ` t ) ) )
44	1	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) -> ( x < ( F ` t ) <-> ( ( F ` t ) e. RR /\ x < ( F ` t ) ) ) )
45		elioopnf 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. RR* -> ( ( F ` t ) e. ( x (,) +oo ) <-> ( ( F ` t ) e. RR /\ x < ( F ` t ) ) ) )
46	20, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR -> ( ( F ` t ) e. ( x (,) +oo ) <-> ( ( F ` t ) e. RR /\ x < ( F ` t ) ) ) )
47	46	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. RR -> ( ( ( F ` t ) e. RR /\ x < ( F ` t ) ) <-> ( F ` t ) e. ( x (,) +oo ) ) )
48	44, 47	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( x < ( F ` t ) <-> ( F ` t ) e. ( x (,) +oo ) ) )
49	48	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( -. x < ( F ` t ) <-> -. ( F ` t ) e. ( x (,) +oo ) ) )
50	43, 49	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` t ) <_ x <-> -. ( F ` t ) e. ( x (,) +oo ) ) )
51	41, 50	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( ( -u x <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ x ) <-> ( -. ( F ` t ) e. ( -oo (,) -u x ) /\ -. ( F ` t ) e. ( x (,) +oo ) ) ) )
52	30, 51	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) <_ x <-> ( -. ( F ` t ) e. ( -oo (,) -u x ) /\ -. ( F ` t ) e. ( x (,) +oo ) ) ) )
53	52	notbid 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( -. ( abs ` ( F ` t ) ) <_ x <-> -. ( -. ( F ` t ) e. ( -oo (,) -u x ) /\ -. ( F ` t ) e. ( x (,) +oo ) ) ) )
54		elun 3753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` t ) e. ( ( -oo (,) -u x ) u. ( x (,) +oo ) ) <-> ( ( F ` t ) e. ( -oo (,) -u x ) \/ ( F ` t ) e. ( x (,) +oo ) ) )
55		oran 517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` t ) e. ( -oo (,) -u x ) \/ ( F ` t ) e. ( x (,) +oo ) ) <-> -. ( -. ( F ` t ) e. ( -oo (,) -u x ) /\ -. ( F ` t ) e. ( x (,) +oo ) ) )
56	54, 55	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` t ) e. ( ( -oo (,) -u x ) u. ( x (,) +oo ) ) <-> -. ( -. ( F ` t ) e. ( -oo (,) -u x ) /\ -. ( F ` t ) e. ( x (,) +oo ) ) )
57	53, 56	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( -. ( abs ` ( F ` t ) ) <_ x <-> ( F ` t ) e. ( ( -oo (,) -u x ) u. ( x (,) +oo ) ) ) )
58	25, 28, 57	3bitrd 294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) e. ( x (,) +oo ) <-> ( F ` t ) e. ( ( -oo (,) -u x ) u. ( x (,) +oo ) ) ) )
59	58	an32s 846	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A --> RR /\ x e. RR ) /\ t e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) e. ( x (,) +oo ) <-> ( F ` t ) e. ( ( -oo (,) -u x ) u. ( x (,) +oo ) ) ) )
60	59	rabbidva 3188	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> RR /\ x e. RR ) -> { t e. A | ( abs ` ( F ` t ) ) e. ( x (,) +oo ) } = { t e. A | ( F ` t ) e. ( ( -oo (,) -u x ) u. ( x (,) +oo ) ) } )
61	12	mptpreima 5628	. . . . . . . 8 |- ( `' ( t e. A |-> ( abs ` ( F ` t ) ) ) " ( x (,) +oo ) ) = { t e. A | ( abs ` ( F ` t ) ) e. ( x (,) +oo ) }
62		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( t e. A |-> ( F ` t ) ) = ( t e. A |-> ( F ` t ) )
63	62	mptpreima 5628	. . . . . . . 8 |- ( `' ( t e. A |-> ( F ` t ) ) " ( ( -oo (,) -u x ) u. ( x (,) +oo ) ) ) = { t e. A | ( F ` t ) e. ( ( -oo (,) -u x ) u. ( x (,) +oo ) ) }
64	60, 61, 63	3eqtr4g 2681	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> RR /\ x e. RR ) -> ( `' ( t e. A |-> ( abs ` ( F ` t ) ) ) " ( x (,) +oo ) ) = ( `' ( t e. A |-> ( F ` t ) ) " ( ( -oo (,) -u x ) u. ( x (,) +oo ) ) ) )
65		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A --> RR /\ x e. RR ) -> F : A --> RR )
66	65	feqmptd 6249	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : A --> RR /\ x e. RR ) -> F = ( t e. A |-> ( F ` t ) ) )
67	66	cnveqd 5298	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> RR /\ x e. RR ) -> `' F = `' ( t e. A |-> ( F ` t ) ) )
68	67	imaeq1d 5465	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> RR /\ x e. RR ) -> ( `' F " ( ( -oo (,) -u x ) u. ( x (,) +oo ) ) ) = ( `' ( t e. A |-> ( F ` t ) ) " ( ( -oo (,) -u x ) u. ( x (,) +oo ) ) ) )
69	64, 68	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> RR /\ x e. RR ) -> ( `' ( t e. A |-> ( abs ` ( F ` t ) ) ) " ( x (,) +oo ) ) = ( `' F " ( ( -oo (,) -u x ) u. ( x (,) +oo ) ) ) )
70		imaundi 5545	. . . . . 6 |- ( `' F " ( ( -oo (,) -u x ) u. ( x (,) +oo ) ) ) = ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) ) u. ( `' F " ( x (,) +oo ) ) )
71	69, 70	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( F : A --> RR /\ x e. RR ) -> ( `' ( t e. A |-> ( abs ` ( F ` t ) ) ) " ( x (,) +oo ) ) = ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) ) u. ( `' F " ( x (,) +oo ) ) ) )
72	71	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( F : A --> RR /\ F e. MblFn ) /\ x e. RR ) -> ( `' ( t e. A |-> ( abs ` ( F ` t ) ) ) " ( x (,) +oo ) ) = ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) ) u. ( `' F " ( x (,) +oo ) ) ) )
73		mbfima 23399	. . . . . . 7 |- ( ( F e. MblFn /\ F : A --> RR ) -> ( `' F " ( -oo (,) -u x ) ) e. dom vol )
74		mbfima 23399	. . . . . . 7 |- ( ( F e. MblFn /\ F : A --> RR ) -> ( `' F " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
75		unmbl 23305	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) ) e. dom vol /\ ( `' F " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol ) -> ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) ) u. ( `' F " ( x (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
76	73, 74, 75	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( F e. MblFn /\ F : A --> RR ) -> ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) ) u. ( `' F " ( x (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
77	76	ancoms 469	. . . . 5 |- ( ( F : A --> RR /\ F e. MblFn ) -> ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) ) u. ( `' F " ( x (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
78	77	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( F : A --> RR /\ F e. MblFn ) /\ x e. RR ) -> ( ( `' F " ( -oo (,) -u x ) ) u. ( `' F " ( x (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
79	72, 78	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( F : A --> RR /\ F e. MblFn ) /\ x e. RR ) -> ( `' ( t e. A |-> ( abs ` ( F ` t ) ) ) " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
80		abslt 14054	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` t ) e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) < x <-> ( -u x < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) < x ) ) )
81	1, 80	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) < x <-> ( -u x < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) < x ) ) )
82		elioomnf 12268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR* -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) e. ( -oo (,) x ) <-> ( ( abs ` ( F ` t ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` t ) ) < x ) ) )
83	20, 82	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) e. ( -oo (,) x ) <-> ( ( abs ` ( F ` t ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` t ) ) < x ) ) )
84	11	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) < x <-> ( ( abs ` ( F ` t ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` t ) ) < x ) ) )
85	84	bicomd 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) -> ( ( ( abs ` ( F ` t ) ) e. RR /\ ( abs ` ( F ` t ) ) < x ) <-> ( abs ` ( F ` t ) ) < x ) )
86	83, 85	sylan9bbr 737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) e. ( -oo (,) x ) <-> ( abs ` ( F ` t ) ) < x ) )
87	35, 20	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( -u x e. RR* /\ x e. RR* ) )
88	1	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) -> ( F ` t ) e. RR* )
89		elioo5 12231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u x e. RR* /\ x e. RR* /\ ( F ` t ) e. RR* ) -> ( ( F ` t ) e. ( -u x (,) x ) <-> ( -u x < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) < x ) ) )
90	89	3expa 1265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u x e. RR* /\ x e. RR* ) /\ ( F ` t ) e. RR* ) -> ( ( F ` t ) e. ( -u x (,) x ) <-> ( -u x < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) < x ) ) )
91	87, 88, 90	syl2anr 495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` t ) e. ( -u x (,) x ) <-> ( -u x < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) < x ) ) )
92	81, 86, 91	3bitr4d 300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A --> RR /\ t e. A ) /\ x e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) e. ( -oo (,) x ) <-> ( F ` t ) e. ( -u x (,) x ) ) )
93	92	an32s 846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A --> RR /\ x e. RR ) /\ t e. A ) -> ( ( abs ` ( F ` t ) ) e. ( -oo (,) x ) <-> ( F ` t ) e. ( -u x (,) x ) ) )
94	93	rabbidva 3188	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> RR /\ x e. RR ) -> { t e. A | ( abs ` ( F ` t ) ) e. ( -oo (,) x ) } = { t e. A | ( F ` t ) e. ( -u x (,) x ) } )
95	12	mptpreima 5628	. . . . . . 7 |- ( `' ( t e. A |-> ( abs ` ( F ` t ) ) ) " ( -oo (,) x ) ) = { t e. A | ( abs ` ( F ` t ) ) e. ( -oo (,) x ) }
96	62	mptpreima 5628	. . . . . . 7 |- ( `' ( t e. A |-> ( F ` t ) ) " ( -u x (,) x ) ) = { t e. A | ( F ` t ) e. ( -u x (,) x ) }
97	94, 95, 96	3eqtr4g 2681	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> RR /\ x e. RR ) -> ( `' ( t e. A |-> ( abs ` ( F ` t ) ) ) " ( -oo (,) x ) ) = ( `' ( t e. A |-> ( F ` t ) ) " ( -u x (,) x ) ) )
98	67	imaeq1d 5465	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> RR /\ x e. RR ) -> ( `' F " ( -u x (,) x ) ) = ( `' ( t e. A |-> ( F ` t ) ) " ( -u x (,) x ) ) )
99	97, 98	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( F : A --> RR /\ x e. RR ) -> ( `' ( t e. A |-> ( abs ` ( F ` t ) ) ) " ( -oo (,) x ) ) = ( `' F " ( -u x (,) x ) ) )
100	99	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( F : A --> RR /\ F e. MblFn ) /\ x e. RR ) -> ( `' ( t e. A |-> ( abs ` ( F ` t ) ) ) " ( -oo (,) x ) ) = ( `' F " ( -u x (,) x ) ) )
101		mbfima 23399	. . . . . 6 |- ( ( F e. MblFn /\ F : A --> RR ) -> ( `' F " ( -u x (,) x ) ) e. dom vol )
102	101	ancoms 469	. . . . 5 |- ( ( F : A --> RR /\ F e. MblFn ) -> ( `' F " ( -u x (,) x ) ) e. dom vol )
103	102	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( F : A --> RR /\ F e. MblFn ) /\ x e. RR ) -> ( `' F " ( -u x (,) x ) ) e. dom vol )
104	100, 103	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( F : A --> RR /\ F e. MblFn ) /\ x e. RR ) -> ( `' ( t e. A |-> ( abs ` ( F ` t ) ) ) " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )
105	14, 19, 79, 104	ismbf2d 23408	. 2 |- ( ( F : A --> RR /\ F e. MblFn ) -> ( t e. A |-> ( abs ` ( F ` t ) ) ) e. MblFn )
106	10, 105	eqeltrd 2701	1 |- ( ( F : A --> RR /\ F e. MblFn ) -> ( abs o. F ) e. MblFn )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   u. cun 3572   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   (,)cioo 12175   abscabs 13974   volcvol 23232  MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388

This theorem is referenced by:  ftc1anclem2  33486  ftc1anclem4  33488  ftc1anclem5  33489  ftc1anclem6  33490  ftc1anclem8  33492