Theorem fundmge2nop0 13274

Description: A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. This stronger version of fundmge2nop 13275 (with the less restrictive requirement that ( G \ { (/) } ) needs to be a function instead of G) is useful for proofs for extensible structures, see structn0fun 15869. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 15-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fundmge2nop0	|- ( ( Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2 <_ ( # ` dom G ) ) -> -. G e. ( _V X. _V ) )

Proof of Theorem fundmge2nop0

Dummy variables a b x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmexg 7097	. . . . . 6 |- ( G e. _V -> dom G e. _V )
2		hashge2el2dif 13262	. . . . . . 7 |- ( ( dom G e. _V /\ 2 <_ ( # ` dom G ) ) -> E. a e. dom G E. b e. dom G a =/= b )
3	2	ex 450	. . . . . 6 |- ( dom G e. _V -> ( 2 <_ ( # ` dom G ) -> E. a e. dom G E. b e. dom G a =/= b ) )
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 |- ( G e. _V -> ( 2 <_ ( # ` dom G ) -> E. a e. dom G E. b e. dom G a =/= b ) )
5		df-ne 2795	. . . . . . 7 |- ( a =/= b <-> -. a = b )
6		elvv 5177	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y G = <. x , y >. )
7		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G = <. x , y >. -> ( G \ { (/) } ) = ( <. x , y >. \ { (/) } ) )
8	7	funeqd 5910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G = <. x , y >. -> ( Fun ( G \ { (/) } ) <-> Fun ( <. x , y >. \ { (/) } ) ) )
9		opwo0id 4961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- <. x , y >. = ( <. x , y >. \ { (/) } )
10	9	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. x , y >. \ { (/) } ) = <. x , y >.
11	10	funeqi 5909	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Fun ( <. x , y >. \ { (/) } ) <-> Fun <. x , y >. )
12		dmeq 5324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( G = <. x , y >. -> dom G = dom <. x , y >. )
13	12	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( G = <. x , y >. -> ( a e. dom G <-> a e. dom <. x , y >. ) )
14	12	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( G = <. x , y >. -> ( b e. dom G <-> b e. dom <. x , y >. ) )
15	13, 14	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( G = <. x , y >. -> ( ( a e. dom G /\ b e. dom G ) <-> ( a e. dom <. x , y >. /\ b e. dom <. x , y >. ) ) )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- <. x , y >. = <. x , y >.
17		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- x e. _V
18		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- y e. _V
19	16, 17, 18	funopdmsn 6415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Fun <. x , y >. /\ a e. dom <. x , y >. /\ b e. dom <. x , y >. ) -> a = b )
20	19	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Fun <. x , y >. /\ ( a e. dom <. x , y >. /\ b e. dom <. x , y >. ) ) -> a = b )
21	20	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a e. dom <. x , y >. /\ b e. dom <. x , y >. ) -> ( Fun <. x , y >. -> a = b ) )
22	15, 21	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G = <. x , y >. -> ( ( a e. dom G /\ b e. dom G ) -> ( Fun <. x , y >. -> a = b ) ) )
23	22	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G = <. x , y >. -> ( Fun <. x , y >. -> ( ( a e. dom G /\ b e. dom G ) -> a = b ) ) )
24	11, 23	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G = <. x , y >. -> ( Fun ( <. x , y >. \ { (/) } ) -> ( ( a e. dom G /\ b e. dom G ) -> a = b ) ) )
25	8, 24	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G = <. x , y >. -> ( Fun ( G \ { (/) } ) -> ( ( a e. dom G /\ b e. dom G ) -> a = b ) ) )
26	25	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G = <. x , y >. -> ( ( a e. dom G /\ b e. dom G ) -> ( Fun ( G \ { (/) } ) -> a = b ) ) )
27	26	impd 447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G = <. x , y >. -> ( ( ( a e. dom G /\ b e. dom G ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) -> a = b ) )
28	27	exlimivv 1860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x E. y G = <. x , y >. -> ( ( ( a e. dom G /\ b e. dom G ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) -> a = b ) )
29	28	com12 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. dom G /\ b e. dom G ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) -> ( E. x E. y G = <. x , y >. -> a = b ) )
30	6, 29	syl5bi 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. dom G /\ b e. dom G ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) -> ( G e. ( _V X. _V ) -> a = b ) )
31	30	con3d 148	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. dom G /\ b e. dom G ) /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) -> ( -. a = b -> -. G e. ( _V X. _V ) ) )
32	31	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. dom G /\ b e. dom G ) -> ( Fun ( G \ { (/) } ) -> ( -. a = b -> -. G e. ( _V X. _V ) ) ) )
33	32	com23 86	. . . . . . 7 |- ( ( a e. dom G /\ b e. dom G ) -> ( -. a = b -> ( Fun ( G \ { (/) } ) -> -. G e. ( _V X. _V ) ) ) )
34	5, 33	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( ( a e. dom G /\ b e. dom G ) -> ( a =/= b -> ( Fun ( G \ { (/) } ) -> -. G e. ( _V X. _V ) ) ) )
35	34	rexlimivv 3036	. . . . 5 |- ( E. a e. dom G E. b e. dom G a =/= b -> ( Fun ( G \ { (/) } ) -> -. G e. ( _V X. _V ) ) )
36	4, 35	syl6 35	. . . 4 |- ( G e. _V -> ( 2 <_ ( # ` dom G ) -> ( Fun ( G \ { (/) } ) -> -. G e. ( _V X. _V ) ) ) )
37	36	com13 88	. . 3 |- ( Fun ( G \ { (/) } ) -> ( 2 <_ ( # ` dom G ) -> ( G e. _V -> -. G e. ( _V X. _V ) ) ) )
38	37	imp 445	. 2 |- ( ( Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2 <_ ( # ` dom G ) ) -> ( G e. _V -> -. G e. ( _V X. _V ) ) )
39		prcnel 3218	. 2 |- ( -. G e. _V -> -. G e. ( _V X. _V ) )
40	38, 39	pm2.61d1 171	1 |- ( ( Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2 <_ ( # ` dom G ) ) -> -. G e. ( _V X. _V ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   ` cfv 5888   <_ cle 10075   2c2 11070   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  fundmge2nop  13275  fun2dmnop0  13276  funvtxdmge2val  25891  funiedgdmge2val  25892  funvtxdmge2valOLD  25899  funiedgdmge2valOLD  25900