Theorem en1eqsn 8190

Description: A set with one element is a singleton. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
en1eqsn	|- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> B = { A } )

Proof of Theorem en1eqsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 7719	. . . . . 6 |- 1o e. om
2		ssid 3624	. . . . . 6 |- 1o C_ 1o
3		ssnnfi 8179	. . . . . 6 |- ( ( 1o e. om /\ 1o C_ 1o ) -> 1o e. Fin )
4	1, 2, 3	mp2an 708	. . . . 5 |- 1o e. Fin
5		enfii 8177	. . . . 5 |- ( ( 1o e. Fin /\ B ~~ 1o ) -> B e. Fin )
6	4, 5	mpan 706	. . . 4 |- ( B ~~ 1o -> B e. Fin )
7	6	adantl 482	. . 3 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> B e. Fin )
8		snssi 4339	. . . 4 |- ( A e. B -> { A } C_ B )
9	8	adantr 481	. . 3 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> { A } C_ B )
10		ensn1g 8021	. . . 4 |- ( A e. B -> { A } ~~ 1o )
11		ensym 8005	. . . 4 |- ( B ~~ 1o -> 1o ~~ B )
12		entr 8008	. . . 4 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ 1o ~~ B ) -> { A } ~~ B )
13	10, 11, 12	syl2an 494	. . 3 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> { A } ~~ B )
14		fisseneq 8171	. . 3 |- ( ( B e. Fin /\ { A } C_ B /\ { A } ~~ B ) -> { A } = B )
15	7, 9, 13, 14	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> { A } = B )
16	15	eqcomd 2628	1 |- ( ( A e. B /\ B ~~ 1o ) -> B = { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   omcom 7065   1oc1o 7553   ~~ cen 7952   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  en1eqsnbi  8191  gex1  18006  0cyg  18294  pgpfac1lem3a  18475  pgpfaclem3  18482  0ring  19270  en1top  20788  cnextfres1  21872  xrge0tsmseq  29787  sconnpi1  31221  rngoueqz  33739  isdmn3  33873