Theorem fisseneq 8171

Description: A finite set is equal to its subset if they are equinumerous. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fisseneq	|- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> A = B )

Proof of Theorem fisseneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pss 3590	. . . . . 6 |- ( A C. B <-> ( A C_ B /\ A =/= B ) )
2		pssinf 8170	. . . . . . 7 |- ( ( A C. B /\ A ~~ B ) -> -. B e. Fin )
3	2	expcom 451	. . . . . 6 |- ( A ~~ B -> ( A C. B -> -. B e. Fin ) )
4	1, 3	syl5bir 233	. . . . 5 |- ( A ~~ B -> ( ( A C_ B /\ A =/= B ) -> -. B e. Fin ) )
5	4	expdimp 453	. . . 4 |- ( ( A ~~ B /\ A C_ B ) -> ( A =/= B -> -. B e. Fin ) )
6	5	necon4ad 2813	. . 3 |- ( ( A ~~ B /\ A C_ B ) -> ( B e. Fin -> A = B ) )
7	6	3impia 1261	. 2 |- ( ( A ~~ B /\ A C_ B /\ B e. Fin ) -> A = B )
8	7	3com13 1270	1 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A ~~ B ) -> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   C. wpss 3575   class class class wbr 4653   ~~ cen 7952   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  en1eqsn  8190  en2eqpr  8830  en2eleq  8831  psgnunilem1  17913  sylow2blem1  18035  fislw  18040  sylow2  18041  cyggenod  18286  ablfac1c  18470  ablfac1eu  18472  fta1blem  23928  vieta1  24067  upgrex  25987  poimirlem26  33435  fiuneneq  37775