Theorem fbssfi 21641

Description: A filter base contains subsets of its finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbssfi	|- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ A e. ( fi ` F ) ) -> E. x e. F x C_ A )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, X

Proof of Theorem fbssfi

Dummy variables t u v y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffi2 8329	. . . 4 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` F ) = |^| { z | ( F C_ z /\ A. u e. z A. v e. z ( u i^i v ) e. z ) } )
2		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u i^i v ) C_ u
3		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u e. ~P U. F ) /\ ( y e. F /\ y C_ u ) /\ ( z e. F /\ z C_ v ) ) -> u e. ~P U. F )
4	3	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u e. ~P U. F ) /\ ( y e. F /\ y C_ u ) /\ ( z e. F /\ z C_ v ) ) -> u C_ U. F )
5	2, 4	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u e. ~P U. F ) /\ ( y e. F /\ y C_ u ) /\ ( z e. F /\ z C_ v ) ) -> ( u i^i v ) C_ U. F )
6		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- u e. _V
7	6	inex1 4799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u i^i v ) e. _V
8	7	elpw 4164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u i^i v ) e. ~P U. F <-> ( u i^i v ) C_ U. F )
9	5, 8	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u e. ~P U. F ) /\ ( y e. F /\ y C_ u ) /\ ( z e. F /\ z C_ v ) ) -> ( u i^i v ) e. ~P U. F )
10		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u e. ~P U. F ) -> F e. ( fBas ` X ) )
11		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. F /\ y C_ u ) -> y e. F )
12		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. F /\ z C_ v ) -> z e. F )
13		fbasssin 21640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ y e. F /\ z e. F ) -> E. x e. F x C_ ( y i^i z ) )
14	10, 11, 12, 13	syl3an 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u e. ~P U. F ) /\ ( y e. F /\ y C_ u ) /\ ( z e. F /\ z C_ v ) ) -> E. x e. F x C_ ( y i^i z ) )
15		ss2in 3840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y C_ u /\ z C_ v ) -> ( y i^i z ) C_ ( u i^i v ) )
16	15	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y e. F /\ y C_ u ) /\ ( z e. F /\ z C_ v ) ) -> ( y i^i z ) C_ ( u i^i v ) )
17	16	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u e. ~P U. F ) /\ ( y e. F /\ y C_ u ) /\ ( z e. F /\ z C_ v ) ) -> ( y i^i z ) C_ ( u i^i v ) )
18		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x C_ ( y i^i z ) /\ ( y i^i z ) C_ ( u i^i v ) ) -> x C_ ( u i^i v ) )
19	18	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y i^i z ) C_ ( u i^i v ) -> ( x C_ ( y i^i z ) -> x C_ ( u i^i v ) ) )
20	17, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u e. ~P U. F ) /\ ( y e. F /\ y C_ u ) /\ ( z e. F /\ z C_ v ) ) -> ( x C_ ( y i^i z ) -> x C_ ( u i^i v ) ) )
21	20	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u e. ~P U. F ) /\ ( y e. F /\ y C_ u ) /\ ( z e. F /\ z C_ v ) ) -> ( E. x e. F x C_ ( y i^i z ) -> E. x e. F x C_ ( u i^i v ) ) )
22	14, 21	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u e. ~P U. F ) /\ ( y e. F /\ y C_ u ) /\ ( z e. F /\ z C_ v ) ) -> E. x e. F x C_ ( u i^i v ) )
23		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = ( u i^i v ) -> ( x C_ t <-> x C_ ( u i^i v ) ) )
24	23	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = ( u i^i v ) -> ( E. x e. F x C_ t <-> E. x e. F x C_ ( u i^i v ) ) )
25	24	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } <-> ( ( u i^i v ) e. ~P U. F /\ E. x e. F x C_ ( u i^i v ) ) )
26	9, 22, 25	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u e. ~P U. F ) /\ ( y e. F /\ y C_ u ) /\ ( z e. F /\ z C_ v ) ) -> ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } )
27	26	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u e. ~P U. F ) /\ ( y e. F /\ y C_ u ) ) /\ ( z e. F /\ z C_ v ) ) -> ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } )
28	27	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u e. ~P U. F ) /\ ( y e. F /\ y C_ u ) ) -> ( E. z e. F z C_ v -> ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ) )
29	28	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u e. ~P U. F ) /\ ( y e. F /\ y C_ u ) ) -> A. v e. ~P U. F ( E. z e. F z C_ v -> ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ) )
30		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = v -> ( x C_ t <-> x C_ v ) )
31	30	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = v -> ( E. x e. F x C_ t <-> E. x e. F x C_ v ) )
32		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( x C_ v <-> z C_ v ) )
33	32	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. F x C_ v <-> E. z e. F z C_ v )
34	31, 33	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = v -> ( E. x e. F x C_ t <-> E. z e. F z C_ v ) )
35	34	ralrab 3368	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. v e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } <-> A. v e. ~P U. F ( E. z e. F z C_ v -> ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ) )
36	29, 35	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u e. ~P U. F ) /\ ( y e. F /\ y C_ u ) ) -> A. v e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } )
37	36	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u e. ~P U. F ) -> ( E. y e. F y C_ u -> A. v e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ) )
38	37	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> A. u e. ~P U. F ( E. y e. F y C_ u -> A. v e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ) )
39		sseq2 3627	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = u -> ( x C_ t <-> x C_ u ) )
40	39	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( t = u -> ( E. x e. F x C_ t <-> E. x e. F x C_ u ) )
41		sseq1 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x C_ u <-> y C_ u ) )
42	41	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. F x C_ u <-> E. y e. F y C_ u )
43	40, 42	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 |- ( t = u -> ( E. x e. F x C_ t <-> E. y e. F y C_ u ) )
44	43	ralrab 3368	. . . . . . . 8 |- ( A. u e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } A. v e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } <-> A. u e. ~P U. F ( E. y e. F y C_ u -> A. v e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ) )
45	38, 44	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> A. u e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } A. v e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } )
46		pwuni 4474	. . . . . . . 8 |- F C_ ~P U. F
47		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- t C_ t
48		sseq1 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = t -> ( x C_ t <-> t C_ t ) )
49	48	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. F /\ t C_ t ) -> E. x e. F x C_ t )
50	47, 49	mpan2 707	. . . . . . . . 9 |- ( t e. F -> E. x e. F x C_ t )
51	50	rgen 2922	. . . . . . . 8 |- A. t e. F E. x e. F x C_ t
52		ssrab 3680	. . . . . . . 8 |- ( F C_ { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } <-> ( F C_ ~P U. F /\ A. t e. F E. x e. F x C_ t ) )
53	46, 51, 52	mpbir2an 955	. . . . . . 7 |- F C_ { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t }
54	45, 53	jctil 560	. . . . . 6 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( F C_ { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } /\ A. u e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } A. v e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ) )
55		uniexg 6955	. . . . . . 7 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> U. F e. _V )
56		pwexg 4850	. . . . . . 7 |- ( U. F e. _V -> ~P U. F e. _V )
57		rabexg 4812	. . . . . . 7 |- ( ~P U. F e. _V -> { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } e. _V )
58		sseq2 3627	. . . . . . . . 9 |- ( z = { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } -> ( F C_ z <-> F C_ { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ) )
59		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } -> ( ( u i^i v ) e. z <-> ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ) )
60	59	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } -> ( A. v e. z ( u i^i v ) e. z <-> A. v e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ) )
61	60	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . 9 |- ( z = { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } -> ( A. u e. z A. v e. z ( u i^i v ) e. z <-> A. u e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } A. v e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ) )
62	58, 61	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( z = { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } -> ( ( F C_ z /\ A. u e. z A. v e. z ( u i^i v ) e. z ) <-> ( F C_ { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } /\ A. u e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } A. v e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ) ) )
63	62	elabg 3351	. . . . . . 7 |- ( { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } e. _V -> ( { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } e. { z | ( F C_ z /\ A. u e. z A. v e. z ( u i^i v ) e. z ) } <-> ( F C_ { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } /\ A. u e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } A. v e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ) ) )
64	55, 56, 57, 63	4syl 19	. . . . . 6 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } e. { z | ( F C_ z /\ A. u e. z A. v e. z ( u i^i v ) e. z ) } <-> ( F C_ { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } /\ A. u e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } A. v e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ( u i^i v ) e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } ) ) )
65	54, 64	mpbird 247	. . . . 5 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } e. { z | ( F C_ z /\ A. u e. z A. v e. z ( u i^i v ) e. z ) } )
66		intss1 4492	. . . . 5 |- ( { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } e. { z | ( F C_ z /\ A. u e. z A. v e. z ( u i^i v ) e. z ) } -> |^| { z | ( F C_ z /\ A. u e. z A. v e. z ( u i^i v ) e. z ) } C_ { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } )
67	65, 66	syl 17	. . . 4 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> |^| { z | ( F C_ z /\ A. u e. z A. v e. z ( u i^i v ) e. z ) } C_ { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } )
68	1, 67	eqsstrd 3639	. . 3 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` F ) C_ { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } )
69	68	sselda 3603	. 2 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ A e. ( fi ` F ) ) -> A e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } )
70		sseq2 3627	. . . . 5 |- ( t = A -> ( x C_ t <-> x C_ A ) )
71	70	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( t = A -> ( E. x e. F x C_ t <-> E. x e. F x C_ A ) )
72	71	elrab 3363	. . 3 |- ( A e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } <-> ( A e. ~P U. F /\ E. x e. F x C_ A ) )
73	72	simprbi 480	. 2 |- ( A e. { t e. ~P U. F | E. x e. F x C_ t } -> E. x e. F x C_ A )
74	69, 73	syl 17	1 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ A e. ( fi ` F ) ) -> E. x e. F x C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475   ` cfv 5888   ficfi 8316   fBascfbas 19734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-fbas 19743

This theorem is referenced by:  fbssint  21642  fbunfip  21673  fmfnfmlem1  21758  fmfnfmlem4  21761