Theorem fbunfip 21673

Description: A helpful lemma for showing that certain sets generate filters. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbunfip	|- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` Y ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. G ) ) <-> A. x e. F A. y e. G ( x i^i y ) =/= (/) ) )

Distinct variable groups:   x, y, G   x, F, y   x, X, y   x, Y, y

Proof of Theorem fbunfip

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfiun 8336	. . . 4 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` Y ) ) -> ( (/) e. ( fi ` ( F u. G ) ) <-> ( (/) e. ( fi ` F ) \/ (/) e. ( fi ` G ) \/ E. x e. ( fi ` F ) E. y e. ( fi ` G ) (/) = ( x i^i y ) ) ) )
2	1	notbid 308	. . 3 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` Y ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. G ) ) <-> -. ( (/) e. ( fi ` F ) \/ (/) e. ( fi ` G ) \/ E. x e. ( fi ` F ) E. y e. ( fi ` G ) (/) = ( x i^i y ) ) ) )
3		3ioran 1056	. . . 4 |- ( -. ( (/) e. ( fi ` F ) \/ (/) e. ( fi ` G ) \/ E. x e. ( fi ` F ) E. y e. ( fi ` G ) (/) = ( x i^i y ) ) <-> ( -. (/) e. ( fi ` F ) /\ -. (/) e. ( fi ` G ) /\ -. E. x e. ( fi ` F ) E. y e. ( fi ` G ) (/) = ( x i^i y ) ) )
4		df-3an 1039	. . . 4 |- ( ( -. (/) e. ( fi ` F ) /\ -. (/) e. ( fi ` G ) /\ -. E. x e. ( fi ` F ) E. y e. ( fi ` G ) (/) = ( x i^i y ) ) <-> ( ( -. (/) e. ( fi ` F ) /\ -. (/) e. ( fi ` G ) ) /\ -. E. x e. ( fi ` F ) E. y e. ( fi ` G ) (/) = ( x i^i y ) ) )
5	3, 4	bitr2i 265	. . 3 |- ( ( ( -. (/) e. ( fi ` F ) /\ -. (/) e. ( fi ` G ) ) /\ -. E. x e. ( fi ` F ) E. y e. ( fi ` G ) (/) = ( x i^i y ) ) <-> -. ( (/) e. ( fi ` F ) \/ (/) e. ( fi ` G ) \/ E. x e. ( fi ` F ) E. y e. ( fi ` G ) (/) = ( x i^i y ) ) )
6	2, 5	syl6bbr 278	. 2 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` Y ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. G ) ) <-> ( ( -. (/) e. ( fi ` F ) /\ -. (/) e. ( fi ` G ) ) /\ -. E. x e. ( fi ` F ) E. y e. ( fi ` G ) (/) = ( x i^i y ) ) ) )
7		nesym 2850	. . . . . . 7 |- ( ( x i^i y ) =/= (/) <-> -. (/) = ( x i^i y ) )
8	7	ralbii 2980	. . . . . 6 |- ( A. y e. ( fi ` G ) ( x i^i y ) =/= (/) <-> A. y e. ( fi ` G ) -. (/) = ( x i^i y ) )
9		ralnex 2992	. . . . . 6 |- ( A. y e. ( fi ` G ) -. (/) = ( x i^i y ) <-> -. E. y e. ( fi ` G ) (/) = ( x i^i y ) )
10	8, 9	bitri 264	. . . . 5 |- ( A. y e. ( fi ` G ) ( x i^i y ) =/= (/) <-> -. E. y e. ( fi ` G ) (/) = ( x i^i y ) )
11	10	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. x e. ( fi ` F ) A. y e. ( fi ` G ) ( x i^i y ) =/= (/) <-> A. x e. ( fi ` F ) -. E. y e. ( fi ` G ) (/) = ( x i^i y ) )
12		ralnex 2992	. . . 4 |- ( A. x e. ( fi ` F ) -. E. y e. ( fi ` G ) (/) = ( x i^i y ) <-> -. E. x e. ( fi ` F ) E. y e. ( fi ` G ) (/) = ( x i^i y ) )
13	11, 12	bitri 264	. . 3 |- ( A. x e. ( fi ` F ) A. y e. ( fi ` G ) ( x i^i y ) =/= (/) <-> -. E. x e. ( fi ` F ) E. y e. ( fi ` G ) (/) = ( x i^i y ) )
14		fbasfip 21672	. . . . 5 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> -. (/) e. ( fi ` F ) )
15		fbasfip 21672	. . . . 5 |- ( G e. ( fBas ` Y ) -> -. (/) e. ( fi ` G ) )
16	14, 15	anim12i 590	. . . 4 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` Y ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` F ) /\ -. (/) e. ( fi ` G ) ) )
17	16	biantrurd 529	. . 3 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` Y ) ) -> ( -. E. x e. ( fi ` F ) E. y e. ( fi ` G ) (/) = ( x i^i y ) <-> ( ( -. (/) e. ( fi ` F ) /\ -. (/) e. ( fi ` G ) ) /\ -. E. x e. ( fi ` F ) E. y e. ( fi ` G ) (/) = ( x i^i y ) ) ) )
18	13, 17	syl5rbb 273	. 2 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` Y ) ) -> ( ( ( -. (/) e. ( fi ` F ) /\ -. (/) e. ( fi ` G ) ) /\ -. E. x e. ( fi ` F ) E. y e. ( fi ` G ) (/) = ( x i^i y ) ) <-> A. x e. ( fi ` F ) A. y e. ( fi ` G ) ( x i^i y ) =/= (/) ) )
19		ssfii 8325	. . . . 5 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> F C_ ( fi ` F ) )
20		ssralv 3666	. . . . 5 |- ( F C_ ( fi ` F ) -> ( A. x e. ( fi ` F ) A. y e. ( fi ` G ) ( x i^i y ) =/= (/) -> A. x e. F A. y e. ( fi ` G ) ( x i^i y ) =/= (/) ) )
21	19, 20	syl 17	. . . 4 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( A. x e. ( fi ` F ) A. y e. ( fi ` G ) ( x i^i y ) =/= (/) -> A. x e. F A. y e. ( fi ` G ) ( x i^i y ) =/= (/) ) )
22		ssfii 8325	. . . . . 6 |- ( G e. ( fBas ` Y ) -> G C_ ( fi ` G ) )
23		ssralv 3666	. . . . . 6 |- ( G C_ ( fi ` G ) -> ( A. y e. ( fi ` G ) ( x i^i y ) =/= (/) -> A. y e. G ( x i^i y ) =/= (/) ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( G e. ( fBas ` Y ) -> ( A. y e. ( fi ` G ) ( x i^i y ) =/= (/) -> A. y e. G ( x i^i y ) =/= (/) ) )
25	24	ralimdv 2963	. . . 4 |- ( G e. ( fBas ` Y ) -> ( A. x e. F A. y e. ( fi ` G ) ( x i^i y ) =/= (/) -> A. x e. F A. y e. G ( x i^i y ) =/= (/) ) )
26	21, 25	sylan9 689	. . 3 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` Y ) ) -> ( A. x e. ( fi ` F ) A. y e. ( fi ` G ) ( x i^i y ) =/= (/) -> A. x e. F A. y e. G ( x i^i y ) =/= (/) ) )
27		ineq1 3807	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x i^i y ) = ( z i^i y ) )
28	27	neeq1d 2853	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( x i^i y ) =/= (/) <-> ( z i^i y ) =/= (/) ) )
29		ineq2 3808	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( z i^i y ) = ( z i^i w ) )
30	29	neeq1d 2853	. . . . 5 |- ( y = w -> ( ( z i^i y ) =/= (/) <-> ( z i^i w ) =/= (/) ) )
31	28, 30	cbvral2v 3179	. . . 4 |- ( A. x e. F A. y e. G ( x i^i y ) =/= (/) <-> A. z e. F A. w e. G ( z i^i w ) =/= (/) )
32		fbssfi 21641	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ x e. ( fi ` F ) ) -> E. z e. F z C_ x )
33		fbssfi 21641	. . . . . . 7 |- ( ( G e. ( fBas ` Y ) /\ y e. ( fi ` G ) ) -> E. w e. G w C_ y )
34		r19.29 3072	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. z e. F A. w e. G ( z i^i w ) =/= (/) /\ E. z e. F z C_ x ) -> E. z e. F ( A. w e. G ( z i^i w ) =/= (/) /\ z C_ x ) )
35		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. w e. G ( z i^i w ) =/= (/) /\ E. w e. G w C_ y ) -> E. w e. G ( ( z i^i w ) =/= (/) /\ w C_ y ) )
36		ss2in 3840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z C_ x /\ w C_ y ) -> ( z i^i w ) C_ ( x i^i y ) )
37		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x i^i y ) = (/) -> ( ( z i^i w ) C_ ( x i^i y ) <-> ( z i^i w ) C_ (/) ) )
38		ss0 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z i^i w ) C_ (/) -> ( z i^i w ) = (/) )
39	37, 38	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x i^i y ) = (/) -> ( ( z i^i w ) C_ ( x i^i y ) -> ( z i^i w ) = (/) ) )
40	36, 39	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z C_ x /\ w C_ y ) -> ( ( x i^i y ) = (/) -> ( z i^i w ) = (/) ) )
41	40	necon3d 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z C_ x /\ w C_ y ) -> ( ( z i^i w ) =/= (/) -> ( x i^i y ) =/= (/) ) )
42	41	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z C_ x -> ( w C_ y -> ( ( z i^i w ) =/= (/) -> ( x i^i y ) =/= (/) ) ) )
43	42	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z i^i w ) =/= (/) -> ( w C_ y -> ( z C_ x -> ( x i^i y ) =/= (/) ) ) )
44	43	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z i^i w ) =/= (/) /\ w C_ y ) -> ( z C_ x -> ( x i^i y ) =/= (/) ) )
45	44	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. w e. G ( ( z i^i w ) =/= (/) /\ w C_ y ) -> ( z C_ x -> ( x i^i y ) =/= (/) ) )
46	35, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. w e. G ( z i^i w ) =/= (/) /\ E. w e. G w C_ y ) -> ( z C_ x -> ( x i^i y ) =/= (/) ) )
47	46	impancom 456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. w e. G ( z i^i w ) =/= (/) /\ z C_ x ) -> ( E. w e. G w C_ y -> ( x i^i y ) =/= (/) ) )
48	47	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. F ( A. w e. G ( z i^i w ) =/= (/) /\ z C_ x ) -> ( E. w e. G w C_ y -> ( x i^i y ) =/= (/) ) )
49	34, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. z e. F A. w e. G ( z i^i w ) =/= (/) /\ E. z e. F z C_ x ) -> ( E. w e. G w C_ y -> ( x i^i y ) =/= (/) ) )
50	49	expimpd 629	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. F A. w e. G ( z i^i w ) =/= (/) -> ( ( E. z e. F z C_ x /\ E. w e. G w C_ y ) -> ( x i^i y ) =/= (/) ) )
51	50	com12 32	. . . . . . 7 |- ( ( E. z e. F z C_ x /\ E. w e. G w C_ y ) -> ( A. z e. F A. w e. G ( z i^i w ) =/= (/) -> ( x i^i y ) =/= (/) ) )
52	32, 33, 51	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ x e. ( fi ` F ) ) /\ ( G e. ( fBas ` Y ) /\ y e. ( fi ` G ) ) ) -> ( A. z e. F A. w e. G ( z i^i w ) =/= (/) -> ( x i^i y ) =/= (/) ) )
53	52	an4s 869	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( x e. ( fi ` F ) /\ y e. ( fi ` G ) ) ) -> ( A. z e. F A. w e. G ( z i^i w ) =/= (/) -> ( x i^i y ) =/= (/) ) )
54	53	ralrimdvva 2974	. . . 4 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` Y ) ) -> ( A. z e. F A. w e. G ( z i^i w ) =/= (/) -> A. x e. ( fi ` F ) A. y e. ( fi ` G ) ( x i^i y ) =/= (/) ) )
55	31, 54	syl5bi 232	. . 3 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` Y ) ) -> ( A. x e. F A. y e. G ( x i^i y ) =/= (/) -> A. x e. ( fi ` F ) A. y e. ( fi ` G ) ( x i^i y ) =/= (/) ) )
56	26, 55	impbid 202	. 2 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` Y ) ) -> ( A. x e. ( fi ` F ) A. y e. ( fi ` G ) ( x i^i y ) =/= (/) <-> A. x e. F A. y e. G ( x i^i y ) =/= (/) ) )
57	6, 18, 56	3bitrd 294	1 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ G e. ( fBas ` Y ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( F u. G ) ) <-> A. x e. F A. y e. G ( x i^i y ) =/= (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ` cfv 5888   ficfi 8316   fBascfbas 19734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-fbas 19743

This theorem is referenced by:  isufil2  21712  ufileu  21723  filufint  21724  fmfnfm  21762  hausflim  21785  flimclslem  21788  fclsfnflim  21831  flimfnfcls  21832