Theorem fctop 20808

Description: The finite complement topology on a set A. Example 3 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 15-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fctop	|- ( A e. V -> { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } e. (TopOn ` A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem fctop

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 4458	. . . . . . . 8 |- ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } -> U. y C_ U. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } )
2		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 |- { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } C_ ~P A
3		sspwuni 4611	. . . . . . . . 9 |- ( { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } C_ ~P A <-> U. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } C_ A )
4	2, 3	mpbi 220	. . . . . . . 8 |- U. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } C_ A
5	1, 4	syl6ss 3615	. . . . . . 7 |- ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } -> U. y C_ A )
6		vuniex 6954	. . . . . . . 8 |- U. y e. _V
7	6	elpw 4164	. . . . . . 7 |- ( U. y e. ~P A <-> U. y C_ A )
8	5, 7	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } -> U. y e. ~P A )
9		uni0c 4464	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. y = (/) <-> A. z e. y z = (/) )
10	9	notbii 310	. . . . . . . . . 10 |- ( -. U. y = (/) <-> -. A. z e. y z = (/) )
11		rexnal 2995	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. y -. z = (/) <-> -. A. z e. y z = (/) )
12	10, 11	bitr4i 267	. . . . . . . . 9 |- ( -. U. y = (/) <-> E. z e. y -. z = (/) )
13		ssel2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } /\ z e. y ) -> z e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } )
14		difeq2 3722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = z -> ( A \ x ) = ( A \ z ) )
15	14	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = z -> ( ( A \ x ) e. Fin <-> ( A \ z ) e. Fin ) )
16		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = z -> ( x = (/) <-> z = (/) ) )
17	15, 16	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) <-> ( ( A \ z ) e. Fin \/ z = (/) ) ) )
18	17	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } <-> ( z e. ~P A /\ ( ( A \ z ) e. Fin \/ z = (/) ) ) )
19	13, 18	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } /\ z e. y ) -> ( z e. ~P A /\ ( ( A \ z ) e. Fin \/ z = (/) ) ) )
20	19	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } /\ z e. y ) -> ( ( A \ z ) e. Fin \/ z = (/) ) )
21	20	ord 392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } /\ z e. y ) -> ( -. ( A \ z ) e. Fin -> z = (/) ) )
22	21	con1d 139	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } /\ z e. y ) -> ( -. z = (/) -> ( A \ z ) e. Fin ) )
23	22	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } /\ z e. y ) /\ -. z = (/) ) -> ( A \ z ) e. Fin )
24		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. y -> z C_ U. y )
25	24	sscond 3747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. y -> ( A \ U. y ) C_ ( A \ z ) )
26		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A \ z ) e. Fin /\ ( A \ U. y ) C_ ( A \ z ) ) -> ( A \ U. y ) e. Fin )
27	25, 26	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A \ z ) e. Fin /\ z e. y ) -> ( A \ U. y ) e. Fin )
28	27	expcom 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. y -> ( ( A \ z ) e. Fin -> ( A \ U. y ) e. Fin ) )
29	28	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } /\ z e. y ) /\ -. z = (/) ) -> ( ( A \ z ) e. Fin -> ( A \ U. y ) e. Fin ) )
30	23, 29	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } /\ z e. y ) /\ -. z = (/) ) -> ( A \ U. y ) e. Fin )
31	30	exp31 630	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } -> ( z e. y -> ( -. z = (/) -> ( A \ U. y ) e. Fin ) ) )
32	31	rexlimdv 3030	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } -> ( E. z e. y -. z = (/) -> ( A \ U. y ) e. Fin ) )
33	12, 32	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } -> ( -. U. y = (/) -> ( A \ U. y ) e. Fin ) )
34	33	con1d 139	. . . . . . 7 |- ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } -> ( -. ( A \ U. y ) e. Fin -> U. y = (/) ) )
35	34	orrd 393	. . . . . 6 |- ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } -> ( ( A \ U. y ) e. Fin \/ U. y = (/) ) )
36		difeq2 3722	. . . . . . . . 9 |- ( x = U. y -> ( A \ x ) = ( A \ U. y ) )
37	36	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = U. y -> ( ( A \ x ) e. Fin <-> ( A \ U. y ) e. Fin ) )
38		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( x = U. y -> ( x = (/) <-> U. y = (/) ) )
39	37, 38	orbi12d 746	. . . . . . 7 |- ( x = U. y -> ( ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) <-> ( ( A \ U. y ) e. Fin \/ U. y = (/) ) ) )
40	39	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( U. y e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } <-> ( U. y e. ~P A /\ ( ( A \ U. y ) e. Fin \/ U. y = (/) ) ) )
41	8, 35, 40	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } -> U. y e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } )
42	41	ax-gen 1722	. . . 4 |- A. y ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } -> U. y e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } )
43		ssinss1 3841	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ A -> ( y i^i z ) C_ A )
44		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
45	44	elpw 4164	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~P A <-> y C_ A )
46	44	inex1 4799	. . . . . . . . . 10 |- ( y i^i z ) e. _V
47	46	elpw 4164	. . . . . . . . 9 |- ( ( y i^i z ) e. ~P A <-> ( y i^i z ) C_ A )
48	43, 45, 47	3imtr4i 281	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P A -> ( y i^i z ) e. ~P A )
49	48	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ~P A /\ ( ( A \ y ) e. Fin \/ y = (/) ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( ( A \ z ) e. Fin \/ z = (/) ) ) ) -> ( y i^i z ) e. ~P A )
50		difindi 3881	. . . . . . . . . . 11 |- ( A \ ( y i^i z ) ) = ( ( A \ y ) u. ( A \ z ) )
51		unfi 8227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A \ y ) e. Fin /\ ( A \ z ) e. Fin ) -> ( ( A \ y ) u. ( A \ z ) ) e. Fin )
52	50, 51	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A \ y ) e. Fin /\ ( A \ z ) e. Fin ) -> ( A \ ( y i^i z ) ) e. Fin )
53	52	orcd 407	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A \ y ) e. Fin /\ ( A \ z ) e. Fin ) -> ( ( A \ ( y i^i z ) ) e. Fin \/ ( y i^i z ) = (/) ) )
54		ineq1 3807	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = (/) -> ( y i^i z ) = ( (/) i^i z ) )
55		0in 3969	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) i^i z ) = (/)
56	54, 55	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( y i^i z ) = (/) )
57	56	olcd 408	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> ( ( A \ ( y i^i z ) ) e. Fin \/ ( y i^i z ) = (/) ) )
58		ineq2 3808	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = (/) -> ( y i^i z ) = ( y i^i (/) ) )
59		in0 3968	. . . . . . . . . . 11 |- ( y i^i (/) ) = (/)
60	58, 59	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( z = (/) -> ( y i^i z ) = (/) )
61	60	olcd 408	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( ( A \ ( y i^i z ) ) e. Fin \/ ( y i^i z ) = (/) ) )
62	53, 57, 61	ccase2 989	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A \ y ) e. Fin \/ y = (/) ) /\ ( ( A \ z ) e. Fin \/ z = (/) ) ) -> ( ( A \ ( y i^i z ) ) e. Fin \/ ( y i^i z ) = (/) ) )
63	62	ad2ant2l 782	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ~P A /\ ( ( A \ y ) e. Fin \/ y = (/) ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( ( A \ z ) e. Fin \/ z = (/) ) ) ) -> ( ( A \ ( y i^i z ) ) e. Fin \/ ( y i^i z ) = (/) ) )
64	49, 63	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. ~P A /\ ( ( A \ y ) e. Fin \/ y = (/) ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( ( A \ z ) e. Fin \/ z = (/) ) ) ) -> ( ( y i^i z ) e. ~P A /\ ( ( A \ ( y i^i z ) ) e. Fin \/ ( y i^i z ) = (/) ) ) )
65		difeq2 3722	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( A \ x ) = ( A \ y ) )
66	65	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( A \ x ) e. Fin <-> ( A \ y ) e. Fin ) )
67		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x = (/) <-> y = (/) ) )
68	66, 67	orbi12d 746	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) <-> ( ( A \ y ) e. Fin \/ y = (/) ) ) )
69	68	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( y e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } <-> ( y e. ~P A /\ ( ( A \ y ) e. Fin \/ y = (/) ) ) )
70	69, 18	anbi12i 733	. . . . . 6 |- ( ( y e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } /\ z e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } ) <-> ( ( y e. ~P A /\ ( ( A \ y ) e. Fin \/ y = (/) ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( ( A \ z ) e. Fin \/ z = (/) ) ) ) )
71		difeq2 3722	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y i^i z ) -> ( A \ x ) = ( A \ ( y i^i z ) ) )
72	71	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y i^i z ) -> ( ( A \ x ) e. Fin <-> ( A \ ( y i^i z ) ) e. Fin ) )
73		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y i^i z ) -> ( x = (/) <-> ( y i^i z ) = (/) ) )
74	72, 73	orbi12d 746	. . . . . . 7 |- ( x = ( y i^i z ) -> ( ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) <-> ( ( A \ ( y i^i z ) ) e. Fin \/ ( y i^i z ) = (/) ) ) )
75	74	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } <-> ( ( y i^i z ) e. ~P A /\ ( ( A \ ( y i^i z ) ) e. Fin \/ ( y i^i z ) = (/) ) ) )
76	64, 70, 75	3imtr4i 281	. . . . 5 |- ( ( y e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } /\ z e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } ) -> ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } )
77	76	rgen2a 2977	. . . 4 |- A. y e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } A. z e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) }
78	42, 77	pm3.2i 471	. . 3 |- ( A. y ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } -> U. y e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } ) /\ A. y e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } A. z e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } )
79		pwexg 4850	. . . 4 |- ( A e. V -> ~P A e. _V )
80		rabexg 4812	. . . 4 |- ( ~P A e. _V -> { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } e. _V )
81		istopg 20700	. . . 4 |- ( { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } e. _V -> ( { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } e. Top <-> ( A. y ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } -> U. y e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } ) /\ A. y e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } A. z e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } ) ) )
82	79, 80, 81	3syl 18	. . 3 |- ( A e. V -> ( { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } e. Top <-> ( A. y ( y C_ { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } -> U. y e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } ) /\ A. y e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } A. z e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } ) ) )
83	78, 82	mpbiri 248	. 2 |- ( A e. V -> { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } e. Top )
84		pwidg 4173	. . . . 5 |- ( A e. V -> A e. ~P A )
85		0fin 8188	. . . . . . 7 |- (/) e. Fin
86	85	orci 405	. . . . . 6 |- ( (/) e. Fin \/ A = (/) )
87	86	a1i 11	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( (/) e. Fin \/ A = (/) ) )
88		difeq2 3722	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( A \ x ) = ( A \ A ) )
89		difid 3948	. . . . . . . . 9 |- ( A \ A ) = (/)
90	88, 89	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( A \ x ) = (/) )
91	90	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( A \ x ) e. Fin <-> (/) e. Fin ) )
92		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( x = (/) <-> A = (/) ) )
93	91, 92	orbi12d 746	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) <-> ( (/) e. Fin \/ A = (/) ) ) )
94	93	elrab 3363	. . . . 5 |- ( A e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } <-> ( A e. ~P A /\ ( (/) e. Fin \/ A = (/) ) ) )
95	84, 87, 94	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( A e. V -> A e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } )
96		elssuni 4467	. . . 4 |- ( A e. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } -> A C_ U. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } )
97	95, 96	syl 17	. . 3 |- ( A e. V -> A C_ U. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } )
98	4	a1i 11	. . 3 |- ( A e. V -> U. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } C_ A )
99	97, 98	eqssd 3620	. 2 |- ( A e. V -> A = U. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } )
100		istopon 20717	. 2 |- ( { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } e. (TopOn ` A ) <-> ( { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } e. Top /\ A = U. { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } ) )
101	83, 99, 100	sylanbrc 698	1 |- ( A e. V -> { x e. ~P A | ( ( A \ x ) e. Fin \/ x = (/) ) } e. (TopOn ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Fincfn 7955   Topctop 20698  TopOnctopon 20715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-top 20699  df-topon 20716

This theorem is referenced by:  fctop2  20809