finxpreclem2 - Mathbox for ML

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Theorem finxpreclem2 33227

Description: Lemma for

recursion theorems. (Contributed by ML, 17-Oct-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
finxpreclem2	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem finxpreclem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . . 6 $/\$
2		nfmpt22 6723	. . . . . . . 8 $/\$
3		nfcv 2764	. . . . . . . 8
4	2, 3	nffv 6198	. . . . . . 7 $/\$
5		nfcv 2764	. . . . . . 7
6	4, 5	nfne 2894	. . . . . 6 $/\$
7	1, 6	nfim 1825	. . . . 5 $/\$ $/\$
8		nfv 1843	. . . . . . 7
9		nfv 1843	. . . . . . . 8 $/\$
10		nfmpt21 6722	. . . . . . . . . 10 $/\$
11		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10
12	10, 11	nffv 6198	. . . . . . . . 9 $/\$
13		nfcv 2764	. . . . . . . . 9
14	12, 13	nfne 2894	. . . . . . . 8 $/\$
15	9, 14	nfim 1825	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
16	8, 15	nfim 1825	. . . . . 6 $/\$ $/\$
17		1onn 7719	. . . . . . 7
18	17	elexi 3213	. . . . . 6
19		df-ov 6653	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
20		0ex 4790	. . . . . . . . . . . . . . . 16
21		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
22		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
23	21, 22	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24	20, 23	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
25	24	csbex 4793	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
26	25	csbex 4793	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
27		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
28	27	ovmpt2s 6784	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	17, 26, 28	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
32		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
33	31, 32	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
36	35	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37	36	biimprcd 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
38		pm3.14 523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\/$ $/\$
39	38	olcs 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
40	37, 39	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
41		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
42	40, 41	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
43	42	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
44		ifeqor 4132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$
45		vuniex 6954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
46		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
47	45, 46	opnzi 4943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
48	47	neii 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
49		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50	48, 49	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
51		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
52		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
53	51, 52	opnzi 4943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
54	53	neii 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
55		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
56	54, 55	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
57	50, 56	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$
58	44, 57	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59	58	neqned 2801	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	43, 59	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
61	60	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
62	34, 61	eqnetrrd 2862	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	30, 63	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	19, 64	syl5eqner 2869	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65	ancom2s 844	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	66	an12s 843	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	67	exp31 630	. . . . . 6 $/\$ $/\$
69	16, 18, 68	vtoclef 3281	. . . . 5 $/\$ $/\$
70	7, 69	vtoclefex 33181	. . . 4 $/\$ $/\$
71	70	anabsi5 858	. . 3 $/\$ $/\$
72	71	necomd 2849	. 2 $/\$ $/\$
73	72	neneqd 2799	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

cvv 3200

csb 3533

c0 3915

cif 4086

cop 4183

cuni 4436

cxp 5112

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmpt2 6652

com 7065

c1st 7166

c1o 7553

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-br 4654 df-opab 4713 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fv 5896 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1o 7560

This theorem is referenced by: finxp1o 33229

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