Theorem finxp1o 33229

Description: The value of Cartesian exponentiation at one. (Contributed by ML, 17-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxp1o	|- ( U ^^ ^^ 1o ) = U

Proof of Theorem finxp1o

Dummy variables n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 7719	. . . . . 6 |- 1o e. om
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( y e. U -> 1o e. om )
3		finxpreclem1 33226	. . . . . 6 |- ( y e. U -> (/) = ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) ` <. 1o , y >. ) )
4		1on 7567	. . . . . . . 8 |- 1o e. On
5		1n0 7575	. . . . . . . 8 |- 1o =/= (/)
6		nnlim 7078	. . . . . . . . 9 |- ( 1o e. om -> -. Lim 1o )
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- -. Lim 1o
8		rdgsucuni 33217	. . . . . . . 8 |- ( ( 1o e. On /\ 1o =/= (/) /\ -. Lim 1o ) -> ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` 1o ) = ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) ` ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` U. 1o ) ) )
9	4, 5, 7, 8	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` 1o ) = ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) ` ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` U. 1o ) )
10		df-1o 7560	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o = suc (/)
11	10	unieqi 4445	. . . . . . . . . . 11 |- U. 1o = U. suc (/)
12		0elon 5778	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. On
13	12	onunisuci 5841	. . . . . . . . . . 11 |- U. suc (/) = (/)
14	11, 13	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- U. 1o = (/)
15	14	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` U. 1o ) = ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` (/) )
16		opex 4932	. . . . . . . . . 10 |- <. 1o , y >. e. _V
17	16	rdg0 7517	. . . . . . . . 9 |- ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` (/) ) = <. 1o , y >.
18	15, 17	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` U. 1o ) = <. 1o , y >.
19	18	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) ` ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` U. 1o ) ) = ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) ` <. 1o , y >. )
20	9, 19	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` 1o ) = ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) ` <. 1o , y >. )
21	3, 20	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( y e. U -> (/) = ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` 1o ) )
22		df-finxp 33221	. . . . . 6 |- ( U ^^ ^^ 1o ) = { y | ( 1o e. om /\ (/) = ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` 1o ) ) }
23	22	abeq2i 2735	. . . . 5 |- ( y e. ( U ^^ ^^ 1o ) <-> ( 1o e. om /\ (/) = ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` 1o ) ) )
24	2, 21, 23	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( y e. U -> y e. ( U ^^ ^^ 1o ) )
25	1, 23	mpbiran 953	. . . . 5 |- ( y e. ( U ^^ ^^ 1o ) <-> (/) = ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` 1o ) )
26		vex 3203	. . . . . . 7 |- y e. _V
27	20	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) ` <. 1o , y >. ) = ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` 1o )
28		finxpreclem2 33227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. _V /\ -. y e. U ) -> -. (/) = ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) ` <. 1o , y >. ) )
29	28	neqned 2801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. _V /\ -. y e. U ) -> (/) =/= ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) ` <. 1o , y >. ) )
30	29	necomd 2849	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. _V /\ -. y e. U ) -> ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) ` <. 1o , y >. ) =/= (/) )
31	27, 30	syl5eqner 2869	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. _V /\ -. y e. U ) -> ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` 1o ) =/= (/) )
32	31	necomd 2849	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. _V /\ -. y e. U ) -> (/) =/= ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` 1o ) )
33	32	neneqd 2799	. . . . . . 7 |- ( ( y e. _V /\ -. y e. U ) -> -. (/) = ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` 1o ) )
34	26, 33	mpan 706	. . . . . 6 |- ( -. y e. U -> -. (/) = ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` 1o ) )
35	34	con4i 113	. . . . 5 |- ( (/) = ( rec ( ( n e. om , x e. _V |-> if ( ( n = 1o /\ x e. U ) , (/) , if ( x e. ( _V X. U ) , <. U. n , ( 1st ` x ) >. , <. n , x >. ) ) ) , <. 1o , y >. ) ` 1o ) -> y e. U )
36	25, 35	sylbi 207	. . . 4 |- ( y e. ( U ^^ ^^ 1o ) -> y e. U )
37	24, 36	impbii 199	. . 3 |- ( y e. U <-> y e. ( U ^^ ^^ 1o ) )
38	37	eqriv 2619	. 2 |- U = ( U ^^ ^^ 1o )
39	38	eqcomi 2631	1 |- ( U ^^ ^^ 1o ) = U

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ifcif 4086   <.cop 4183   U.cuni 4436   X. cxp 5112   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725   ` cfv 5888   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   1stc1st 7166   reccrdg 7505   1oc1o 7553   ^^ ^^cfinxp 33220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-finxp 33221

This theorem is referenced by:  finxp2o  33236  finxp00  33239