Theorem frmdup2 17402

Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdup.m	|- M = (freeMnd ` I )
frmdup.b	|- B = ( Base ` G )
frmdup.e	|- E = ( x e. Word I |-> ( G gsumg ( A o. x ) ) )
frmdup.g	|- ( ph -> G e. Mnd )
frmdup.i	|- ( ph -> I e. X )
frmdup.a	|- ( ph -> A : I --> B )
frmdup2.u	|- U = (varFMnd ` I )
frmdup2.y	|- ( ph -> Y e. I )

Assertion

Ref	Expression
frmdup2	|- ( ph -> ( E ` ( U ` Y ) ) = ( A ` Y ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, G   ph, x   x, Y   x, I

Allowed substitution hints:   U( x)   E( x)   M( x)   X( x)

Proof of Theorem frmdup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdup.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. X )
2		frmdup2.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. I )
3		frmdup2.u	. . . . 5 |- U = (varFMnd ` I )
4	3	vrmdval 17394	. . . 4 |- ( ( I e. X /\ Y e. I ) -> ( U ` Y ) = <" Y "> )
5	1, 2, 4	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( U ` Y ) = <" Y "> )
6	5	fveq2d 6195	. 2 |- ( ph -> ( E ` ( U ` Y ) ) = ( E ` <" Y "> ) )
7	2	s1cld 13383	. . . 4 |- ( ph -> <" Y "> e. Word I )
8		coeq2 5280	. . . . . 6 |- ( x = <" Y "> -> ( A o. x ) = ( A o. <" Y "> ) )
9	8	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = <" Y "> -> ( G gsumg ( A o. x ) ) = ( G gsumg ( A o. <" Y "> ) ) )
10		frmdup.e	. . . . 5 |- E = ( x e. Word I |-> ( G gsumg ( A o. x ) ) )
11		ovex 6678	. . . . 5 |- ( G gsumg ( A o. x ) ) e. _V
12	9, 10, 11	fvmpt3i 6287	. . . 4 |- ( <" Y "> e. Word I -> ( E ` <" Y "> ) = ( G gsumg ( A o. <" Y "> ) ) )
13	7, 12	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( E ` <" Y "> ) = ( G gsumg ( A o. <" Y "> ) ) )
14		frmdup.a	. . . . 5 |- ( ph -> A : I --> B )
15		s1co 13579	. . . . 5 |- ( ( Y e. I /\ A : I --> B ) -> ( A o. <" Y "> ) = <" ( A ` Y ) "> )
16	2, 14, 15	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( A o. <" Y "> ) = <" ( A ` Y ) "> )
17	16	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( A o. <" Y "> ) ) = ( G gsumg <" ( A ` Y ) "> ) )
18	14, 2	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ph -> ( A ` Y ) e. B )
19		frmdup.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
20	19	gsumws1 17376	. . . 4 |- ( ( A ` Y ) e. B -> ( G gsumg <" ( A ` Y ) "> ) = ( A ` Y ) )
21	18, 20	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg <" ( A ` Y ) "> ) = ( A ` Y ) )
22	13, 17, 21	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> ( E ` <" Y "> ) = ( A ` Y ) )
23	6, 22	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( E ` ( U ` Y ) ) = ( A ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  Word cword 13291   <"cs1 13294   Basecbs 15857   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  freeMndcfrmd 17384  var_FMndcvrmd 17385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-word 13299  df-s1 13302  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-vrmd 17387

This theorem is referenced by:  frmdup3  17404