Theorem abelthlem6 24190

Description: Lemma for abelth 24195. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
abelth.2	|- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
abelth.3	|- ( ph -> M e. RR )
abelth.4	|- ( ph -> 0 <_ M )
abelth.5	|- S = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }
abelth.6	|- F = ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
abelth.7	|- ( ph -> seq 0 ( + , A ) ~~> 0 )
abelthlem6.1	|- ( ph -> X e. ( S \ { 1 } ) )

Assertion

Ref	Expression
abelthlem6	|- ( ph -> ( F ` X ) = ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, z, M   n, X, x, z   A, n, x, z   ph, n, x   S, n, x

Allowed substitution hints:   ph( z)   S( z)   F( x, z, n)

Proof of Theorem abelthlem6

Dummy variables i k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelthlem6.1	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( S \ { 1 } ) )
2	1	eldifad 3586	. . 3 |- ( ph -> X e. S )
3		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( x ^ n ) = ( X ^ n ) )
4	3	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) = ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
5	4	sumeq2sdv 14435	. . . 4 |- ( x = X -> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) = sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
6		abelth.6	. . . 4 |- F = ( x e. S |-> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
7		sumex 14418	. . . 4 |- sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. _V
8	5, 6, 7	fvmpt 6282	. . 3 |- ( X e. S -> ( F ` X ) = sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
9	2, 8	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( F ` X ) = sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
10		nn0uz 11722	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
11		0zd 11389	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
12		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( A ` k ) = ( A ` n ) )
13		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( X ^ k ) = ( X ^ n ) )
14	12, 13	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( k = n -> ( ( A ` k ) x. ( X ^ k ) ) = ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
15		eqid 2622	. . . . 5 |- ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( X ^ k ) ) )
16		ovex 6678	. . . . 5 |- ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. _V
17	14, 15, 16	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( n e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) = ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
18	17	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) = ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
19		abelth.1	. . . . 5 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
20	19	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( A ` n ) e. CC )
21		abelth.5	. . . . . . 7 |- S = { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) }
22		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { z e. CC | ( abs ` ( 1 - z ) ) <_ ( M x. ( 1 - ( abs ` z ) ) ) } C_ CC
23	21, 22	eqsstri 3635	. . . . . 6 |- S C_ CC
24	23, 2	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ph -> X e. CC )
25		expcl 12878	. . . . 5 |- ( ( X e. CC /\ n e. NN0 ) -> ( X ^ n ) e. CC )
26	24, 25	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( X ^ n ) e. CC )
27	20, 26	mulcld 10060	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC )
28		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( seq 0 ( + , A ) ` k ) = ( seq 0 ( + , A ) ` n ) )
29	28, 13	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
30		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) )
31		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. _V
32	29, 30, 31	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
33	32	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
34	10, 11, 20	serf 12829	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) : NN0 --> CC )
35	34	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , A ) ` n ) e. CC )
36	35, 26	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC )
37		abelth.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) e. dom ~~> )
38		abelth.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. RR )
39		abelth.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ M )
40	19, 37, 38, 39, 21	abelthlem2 24186	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 e. S /\ ( S \ { 1 } ) C_ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) )
41	40	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S \ { 1 } ) C_ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
42	41, 1	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) )
43		abelth.7	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 0 ( + , A ) ~~> 0 )
44	19, 37, 38, 39, 21, 6, 43	abelthlem5 24189	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) 1 ) ) -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )
45	42, 44	mpdan 702	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. dom ~~> )
46	10, 11, 33, 36, 45	isumclim2 14489	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ~~> sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
47		seqex 12803	. . . . . 6 |- seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. _V
48	47	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. _V )
49		0nn0 11307	. . . . . . . 8 |- 0 e. NN0
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
51		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = i -> ( k - 1 ) = ( i - 1 ) )
52	51	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = i -> ( 0 ... ( k - 1 ) ) = ( 0 ... ( i - 1 ) ) )
53	52	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = i -> sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) = sum_ m e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ( A ` m ) )
54		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = i -> ( X ^ k ) = ( X ^ i ) )
55	53, 54	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( k = i -> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ i ) ) )
56		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) )
57		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( sum_ m e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ i ) ) e. _V
58	55, 56, 57	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( i e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ` i ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ i ) ) )
59	58	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ` i ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ i ) ) )
60		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( 0 ... ( i - 1 ) ) e. Fin )
61	19	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> A : NN0 --> CC )
62		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) -> m e. NN0 )
63		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A : NN0 --> CC /\ m e. NN0 ) -> ( A ` m ) e. CC )
64	61, 62, 63	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ m e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ) -> ( A ` m ) e. CC )
65	60, 64	fsumcl 14464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> sum_ m e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ( A ` m ) e. CC )
66		expcl 12878	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. CC /\ i e. NN0 ) -> ( X ^ i ) e. CC )
67	24, 66	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( X ^ i ) e. CC )
68	65, 67	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( sum_ m e. ( 0 ... ( i - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ i ) ) e. CC )
69	59, 68	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ` i ) e. CC )
70	11	peano2zd 11485	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 + 1 ) e. ZZ )
71		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
72		1e0p1 11552	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 = ( 0 + 1 )
73	72	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) )
74	71, 73	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) )
75	74	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN <-> n e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) )
76		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( n - 1 ) e. NN0 )
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n - 1 ) e. NN0 )
78		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( n - 1 ) -> ( seq 0 ( + , A ) ` k ) = ( seq 0 ( + , A ) ` ( n - 1 ) ) )
79		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( n - 1 ) -> ( X ^ k ) = ( X ^ ( n - 1 ) ) )
80	78, 79	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( n - 1 ) -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` ( n - 1 ) ) x. ( X ^ ( n - 1 ) ) ) )
81	80	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n - 1 ) -> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) = ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` ( n - 1 ) ) x. ( X ^ ( n - 1 ) ) ) ) )
82		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) )
83		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` ( n - 1 ) ) x. ( X ^ ( n - 1 ) ) ) ) e. _V
84	81, 82, 83	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n - 1 ) e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` ( n - 1 ) ) = ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` ( n - 1 ) ) x. ( X ^ ( n - 1 ) ) ) ) )
85	77, 84	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` ( n - 1 ) ) = ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` ( n - 1 ) ) x. ( X ^ ( n - 1 ) ) ) ) )
86		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
87		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. CC )
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. CC )
89		nn0ex 11298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 e. _V
90	89	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) e. _V
91	90	shftval 13814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) shift 1 ) ` n ) = ( ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` ( n - 1 ) ) )
92	86, 88, 91	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) shift 1 ) ` n ) = ( ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` ( n - 1 ) ) )
93		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ) -> ( A ` m ) = ( A ` m ) )
94	77, 10	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
95	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A : NN0 --> CC )
96		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) -> m e. NN0 )
97	95, 96, 63	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ) -> ( A ` m ) e. CC )
98	93, 94, 97	fsumser 14461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) = ( seq 0 ( + , A ) ` ( n - 1 ) ) )
99		expm1t 12888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. CC /\ n e. NN ) -> ( X ^ n ) = ( ( X ^ ( n - 1 ) ) x. X ) )
100	24, 99	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( X ^ n ) = ( ( X ^ ( n - 1 ) ) x. X ) )
101	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. CC )
102		expcl 12878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X e. CC /\ ( n - 1 ) e. NN0 ) -> ( X ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
103	24, 76, 102	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( X ^ ( n - 1 ) ) e. CC )
104	101, 103	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( X x. ( X ^ ( n - 1 ) ) ) = ( ( X ^ ( n - 1 ) ) x. X ) )
105	100, 104	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( X ^ n ) = ( X x. ( X ^ ( n - 1 ) ) ) )
106	98, 105	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ n ) ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` ( n - 1 ) ) x. ( X x. ( X ^ ( n - 1 ) ) ) ) )
107		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
108	107	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN0 )
109		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( k - 1 ) = ( n - 1 ) )
110	109	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( 0 ... ( k - 1 ) ) = ( 0 ... ( n - 1 ) ) )
111	110	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) = sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) )
112	111, 13	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ n ) ) )
113		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ n ) ) e. _V
114	112, 56, 113	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ n ) ) )
115	108, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ n ) ) )
116		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq 0 ( + , A ) : NN0 --> CC /\ ( n - 1 ) e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , A ) ` ( n - 1 ) ) e. CC )
117	34, 76, 116	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( seq 0 ( + , A ) ` ( n - 1 ) ) e. CC )
118	101, 117, 103	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` ( n - 1 ) ) x. ( X ^ ( n - 1 ) ) ) ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` ( n - 1 ) ) x. ( X x. ( X ^ ( n - 1 ) ) ) ) )
119	106, 115, 118	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) = ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` ( n - 1 ) ) x. ( X ^ ( n - 1 ) ) ) ) )
120	85, 92, 119	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) shift 1 ) ` n ) = ( ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) )
121	75, 120	sylan2br 493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) ) ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) shift 1 ) ` n ) = ( ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) )
122	70, 121	seqfeq 12826	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) shift 1 ) ) = seq ( 0 + 1 ) ( + , ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ) )
123		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = i -> ( seq 0 ( + , A ) ` k ) = ( seq 0 ( + , A ) ` i ) )
124	123, 54	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = i -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) )
125		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) e. _V
126	124, 30, 125	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` i ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) )
127	126	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` i ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) )
128	34	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , A ) ` i ) e. CC )
129	128, 67	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) e. CC )
130	127, 129	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` i ) e. CC )
131	124	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = i -> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) = ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) ) )
132		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) ) e. _V
133	131, 82, 132	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` i ) = ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) ) )
134	133	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` i ) = ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) ) )
135	127	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( X x. ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` i ) ) = ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` i ) x. ( X ^ i ) ) ) )
136	134, 135	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` i ) = ( X x. ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` i ) ) )
137	10, 11, 24, 46, 130, 136	isermulc2 14388	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ) ~~> ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
138		0z 11388	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
139		1z 11407	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
140	90	isershft 14394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ) ~~> ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <-> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) shift 1 ) ) ~~> ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
141	138, 139, 140	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ) ~~> ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) <-> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) shift 1 ) ) ~~> ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
142	137, 141	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( ( k e. NN0 |-> ( X x. ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) shift 1 ) ) ~~> ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
143	122, 142	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ~~> ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
144	10, 50, 69, 143	clim2ser2 14386	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ~~> ( ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) + ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` 0 ) ) )
145		seq1 12814	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. ZZ -> ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` 0 ) = ( ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ` 0 ) )
146	138, 145	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` 0 ) = ( ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ` 0 )
147		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( k - 1 ) = ( 0 - 1 ) )
148	147	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 0 -> ( 0 ... ( k - 1 ) ) = ( 0 ... ( 0 - 1 ) ) )
149		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
150		ltm1 10863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0 e. RR -> ( 0 - 1 ) < 0 )
151	149, 150	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 - 1 ) < 0
152		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 - 1 ) e. ZZ )
153	138, 152	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0 - 1 ) e. ZZ
154		fzn 12357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( 0 - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( 0 - 1 ) < 0 <-> ( 0 ... ( 0 - 1 ) ) = (/) ) )
155	138, 153, 154	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 - 1 ) < 0 <-> ( 0 ... ( 0 - 1 ) ) = (/) )
156	151, 155	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 ... ( 0 - 1 ) ) = (/)
157	148, 156	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 0 -> ( 0 ... ( k - 1 ) ) = (/) )
158	157	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 0 -> sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) = sum_ m e. (/) ( A ` m ) )
159		sum0 14452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- sum_ m e. (/) ( A ` m ) = 0
160	158, 159	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 0 -> sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) = 0 )
161		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 0 -> ( X ^ k ) = ( X ^ 0 ) )
162	160, 161	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 0 -> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) = ( 0 x. ( X ^ 0 ) ) )
163		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 x. ( X ^ 0 ) ) e. _V
164	162, 56, 163	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ` 0 ) = ( 0 x. ( X ^ 0 ) ) )
165	49, 164	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ` 0 ) = ( 0 x. ( X ^ 0 ) )
166	146, 165	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` 0 ) = ( 0 x. ( X ^ 0 ) )
167		expcl 12878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. CC /\ 0 e. NN0 ) -> ( X ^ 0 ) e. CC )
168	24, 49, 167	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X ^ 0 ) e. CC )
169	168	mul02d 10234	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 x. ( X ^ 0 ) ) = 0 )
170	166, 169	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` 0 ) = 0 )
171	170	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) + ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` 0 ) ) = ( ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) + 0 ) )
172	10, 11, 33, 36, 45	isumcl 14492	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) e. CC )
173	24, 172	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) e. CC )
174	173	addid1d 10236	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) + 0 ) = ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
175	171, 174	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) + ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` 0 ) ) = ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
176	144, 175	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ~~> ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
177	10, 11, 130	serf 12829	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) : NN0 --> CC )
178	177	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` i ) e. CC )
179	10, 11, 69	serf 12829	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ) : NN0 --> CC )
180	179	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` i ) e. CC )
181		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> i e. NN0 )
182	181, 10	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
183		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ph )
184		elfznn0 12433	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 0 ... i ) -> n e. NN0 )
185	33, 36	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) e. CC )
186	183, 184, 185	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ n e. ( 0 ... i ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) e. CC )
187	114	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ n ) ) )
188		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( 0 ... ( n - 1 ) ) e. Fin )
189	19	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> A : NN0 --> CC )
190	189, 96, 63	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ) -> ( A ` m ) e. CC )
191	188, 190	fsumcl 14464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) e. CC )
192	191, 26	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ n ) ) e. CC )
193	187, 192	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) e. CC )
194	183, 184, 193	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ n e. ( 0 ... i ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) e. CC )
195		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ m e. ( 0 ... n ) ) -> ( A ` m ) = ( A ` m ) )
196		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 )
197	196, 10	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> n e. ( ZZ>= ` 0 ) )
198		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( 0 ... n ) -> m e. NN0 )
199	189, 198, 63	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN0 ) /\ m e. ( 0 ... n ) ) -> ( A ` m ) e. CC )
200	195, 197, 199	fsumser 14461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> sum_ m e. ( 0 ... n ) ( A ` m ) = ( seq 0 ( + , A ) ` n ) )
201		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = n -> ( A ` m ) = ( A ` n ) )
202	197, 199, 201	fsumm1 14480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> sum_ m e. ( 0 ... n ) ( A ` m ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) + ( A ` n ) ) )
203	200, 202	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , A ) ` n ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) + ( A ` n ) ) )
204	203	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) - sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) ) = ( ( sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) + ( A ` n ) ) - sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) ) )
205	191, 20	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) + ( A ` n ) ) - sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) ) = ( A ` n ) )
206	204, 205	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( A ` n ) = ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) - sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) ) )
207	206	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) = ( ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) - sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) ) x. ( X ^ n ) ) )
208	35, 191, 26	subdird 10487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) - sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) ) x. ( X ^ n ) ) = ( ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) - ( sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ n ) ) ) )
209	207, 208	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) = ( ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) - ( sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ n ) ) ) )
210	33, 187	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) - ( ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) ) = ( ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) - ( sum_ m e. ( 0 ... ( n - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ n ) ) ) )
211	209, 18, 210	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) = ( ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) - ( ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) ) )
212	183, 184, 211	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ n e. ( 0 ... i ) ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) = ( ( ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) - ( ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ` n ) ) )
213	182, 186, 194, 212	sersub 12844	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` i ) = ( ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( seq 0 ( + , A ) ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` i ) - ( seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( sum_ m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( A ` m ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ` i ) ) )
214	10, 11, 46, 48, 176, 178, 180, 213	climsub 14364	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ~~> ( sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) - ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
215		1cnd 10056	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. CC )
216	215, 24, 172	subdird 10487	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) = ( ( 1 x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) - ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
217	172	mulid2d 10058	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) = sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) )
218	217	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) - ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) = ( sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) - ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
219	216, 218	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) = ( sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) - ( X x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) ) )
220	214, 219	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( k e. NN0 |-> ( ( A ` k ) x. ( X ^ k ) ) ) ) ~~> ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
221	10, 11, 18, 27, 220	isumclim 14488	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. NN0 ( ( A ` n ) x. ( X ^ n ) ) = ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )
222	9, 221	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( F ` X ) = ( ( 1 - X ) x. sum_ n e. NN0 ( ( seq 0 ( + , A ) ` n ) x. ( X ^ n ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ^cexp 12860   shift cshi 13806   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   ballcbl 19733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741

This theorem is referenced by:  abelthlem7  24192