Theorem lgsdir2lem3 25052

Description: Lemma for lgsdir2 25055. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem3	|- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> A e. ZZ )
2		8nn 11191	. . . 4 |- 8 e. NN
3		zmodfz 12692	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ 8 e. NN ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
4	1, 2, 3	sylancl 694	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) )
5		8cn 11106	. . . . 5 |- 8 e. CC
6		ax-1cn 9994	. . . . 5 |- 1 e. CC
7		7cn 11104	. . . . 5 |- 7 e. CC
8	6, 7	addcomi 10227	. . . . . 6 |- ( 1 + 7 ) = ( 7 + 1 )
9		df-8 11085	. . . . . 6 |- 8 = ( 7 + 1 )
10	8, 9	eqtr4i 2647	. . . . 5 |- ( 1 + 7 ) = 8
11	5, 6, 7, 10	subaddrii 10370	. . . 4 |- ( 8 - 1 ) = 7
12	11	oveq2i 6661	. . 3 |- ( 0 ... ( 8 - 1 ) ) = ( 0 ... 7 )
13	4, 12	syl6eleq 2711	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) )
14		neg1z 11413	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. ZZ
15		2z 11409	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
16		dvds0 14997	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. ZZ -> 2 || 0 )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 2 || 0
18		1pneg1e0 11129	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
19		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. CC
20	6, 19	addcomi 10227	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + -u 1 ) = ( -u 1 + 1 )
21	18, 20	eqtr3i 2646	. . . . . . . . 9 |- 0 = ( -u 1 + 1 )
22	17, 21	breqtri 4678	. . . . . . . 8 |- 2 || ( -u 1 + 1 )
23		noel 3919	. . . . . . . . . . 11 |- -. ( A mod 8 ) e. (/)
24	23	pm2.21i 116	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A mod 8 ) e. (/) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
25		neg1lt0 11127	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 < 0
26		0z 11388	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
27		fzn 12357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) ) )
28	26, 14, 27	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u 1 < 0 <-> ( 0 ... -u 1 ) = (/) )
29	25, 28	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... -u 1 ) = (/)
30	24, 29	eleq2s 2719	. . . . . . . . 9 |- ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
32	14, 22, 31	3pm3.2i 1239	. . . . . . 7 |- ( -u 1 e. ZZ /\ 2 || ( -u 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... -u 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
33		1e0p1 11552	. . . . . . 7 |- 1 = ( 0 + 1 )
34		ssun1 3776	. . . . . . . 8 |- { 1 , 7 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
35		1ex 10035	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
36	35	prid1 4297	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 1 , 7 }
37	34, 36	sselii 3600	. . . . . . 7 |- 1 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
38	32, 21, 33, 37	lgsdir2lem2 25051	. . . . . 6 |- ( 1 e. ZZ /\ 2 || ( 1 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 1 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
39		df-2 11079	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
40		df-3 11080	. . . . . 6 |- 3 = ( 2 + 1 )
41		ssun2 3777	. . . . . . 7 |- { 3 , 5 } C_ ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
42		3ex 11096	. . . . . . . 8 |- 3 e. _V
43	42	prid1 4297	. . . . . . 7 |- 3 e. { 3 , 5 }
44	41, 43	sselii 3600	. . . . . 6 |- 3 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
45	38, 39, 40, 44	lgsdir2lem2 25051	. . . . 5 |- ( 3 e. ZZ /\ 2 || ( 3 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 3 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
46		df-4 11081	. . . . 5 |- 4 = ( 3 + 1 )
47		df-5 11082	. . . . 5 |- 5 = ( 4 + 1 )
48		5nn 11188	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN
49	48	elexi 3213	. . . . . . 7 |- 5 e. _V
50	49	prid2 4298	. . . . . 6 |- 5 e. { 3 , 5 }
51	41, 50	sselii 3600	. . . . 5 |- 5 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
52	45, 46, 47, 51	lgsdir2lem2 25051	. . . 4 |- ( 5 e. ZZ /\ 2 || ( 5 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 5 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
53		df-6 11083	. . . 4 |- 6 = ( 5 + 1 )
54		df-7 11084	. . . 4 |- 7 = ( 6 + 1 )
55		7nn 11190	. . . . . . 7 |- 7 e. NN
56	55	elexi 3213	. . . . . 6 |- 7 e. _V
57	56	prid2 4298	. . . . 5 |- 7 e. { 1 , 7 }
58	34, 57	sselii 3600	. . . 4 |- 7 e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } )
59	52, 53, 54, 58	lgsdir2lem2 25051	. . 3 |- ( 7 e. ZZ /\ 2 || ( 7 + 1 ) /\ ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) ) )
60	59	simp3i 1072	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( ( A mod 8 ) e. ( 0 ... 7 ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
61	13, 60	mpd 15	1 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   (/)c0 3915   {cpr 4179   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   7c7 11075   8c8 11076   ZZcz 11377   ...cfz 12326   mod cmo 12668   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  lgsdir2  25055  2lgslem3  25129  2lgsoddprmlem3  25139