Theorem fzen 12358

Description: A shifted finite set of sequential integers is equinumerous to the original set. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzen	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M ... N ) ~~ ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )

Proof of Theorem fzen

Dummy variables k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 6680	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M ... N ) e. _V )
2		ovexd 6680	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) e. _V )
3		elfz1 12331	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
4	3	biimpd 219	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
5	4	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) ) )
6		zaddcl 11417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ZZ )
7	6	expcom 451	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( k e. ZZ -> ( k + K ) e. ZZ ) )
8	7	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ZZ -> ( k + K ) e. ZZ ) )
9	8	adantrd 484	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( k + K ) e. ZZ ) )
10		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
11		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
12		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
13		leadd1 10496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR /\ K e. RR ) -> ( M <_ k <-> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
14	10, 11, 12, 13	syl3an 1368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ k <-> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
15	14	biimpd 219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ k -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
16	15	adantrd 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
17	16	3com23 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
18	17	3expia 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ZZ -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) ) )
19	18	impd 447	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
20	19	3adant2 1080	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( M + K ) <_ ( k + K ) ) )
21		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
22		leadd1 10496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. RR /\ N e. RR /\ K e. RR ) -> ( k <_ N <-> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
23	11, 21, 12, 22	syl3an 1368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k <_ N <-> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
24	23	biimpd 219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k <_ N -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
25	24	adantld 483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
26	25	3coml 1272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
27	26	3expia 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ZZ -> ( ( M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
28	27	impd 447	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
29	28	3adant1 1079	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( k + K ) <_ ( N + K ) ) )
30	9, 20, 29	3jcad 1243	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
31		zaddcl 11417	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
32	31	3adant2 1080	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M + K ) e. ZZ )
33		zaddcl 11417	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
34	33	3adant1 1079	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
35		elfz1 12331	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
36	32, 34, 35	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) ) )
37	36	biimprd 238	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( k + K ) e. ZZ /\ ( M + K ) <_ ( k + K ) /\ ( k + K ) <_ ( N + K ) ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
38	30, 37	syldc 48	. . . . 5 |- ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ k <_ N ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
39	38	3impb 1260	. . . 4 |- ( ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
40	39	com12 32	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
41	5, 40	syld 47	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> ( k + K ) e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) )
42		elfz1 12331	. . . . 5 |- ( ( ( M + K ) e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) )
43	32, 34, 42	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) <-> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) )
44	43	biimpd 219	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) )
45		zsubcl 11419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m - K ) e. ZZ )
46	45	expcom 451	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( m e. ZZ -> ( m - K ) e. ZZ ) )
47	46	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ZZ -> ( m - K ) e. ZZ ) )
48	47	adantrd 484	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) e. ZZ ) )
49		zre 11381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ZZ -> m e. RR )
50		leaddsub 10504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR /\ m e. RR ) -> ( ( M + K ) <_ m <-> M <_ ( m - K ) ) )
51	10, 12, 49, 50	syl3an 1368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( M + K ) <_ m <-> M <_ ( m - K ) ) )
52	51	biimpd 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( M + K ) <_ m -> M <_ ( m - K ) ) )
53	52	adantrd 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> M <_ ( m - K ) ) )
54	53	3expia 1267	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ZZ -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> M <_ ( m - K ) ) ) )
55	54	impd 447	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> M <_ ( m - K ) ) )
56	55	3adant2 1080	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> M <_ ( m - K ) ) )
57		lesubadd 10500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( m - K ) <_ N <-> m <_ ( N + K ) ) )
58	49, 12, 21, 57	syl3an 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( m - K ) <_ N <-> m <_ ( N + K ) ) )
59	58	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( m <_ ( N + K ) -> ( m - K ) <_ N ) )
60	59	adantld 483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
61	60	3coml 1272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
62	61	3expia 1267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( m e. ZZ -> ( ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) <_ N ) ) )
63	62	impd 447	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
64	63	ancoms 469	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
65	64	3adant1 1079	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( m - K ) <_ N ) )
66	48, 56, 65	3jcad 1243	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) ) )
67		elfz1 12331	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( m - K ) e. ( M ... N ) <-> ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) ) )
68	67	biimprd 238	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
69	68	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( m - K ) e. ZZ /\ M <_ ( m - K ) /\ ( m - K ) <_ N ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
70	66, 69	syldc 48	. . . . 5 |- ( ( m e. ZZ /\ ( ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
71	70	3impb 1260	. . . 4 |- ( ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
72	71	com12 32	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
73	44, 72	syld 47	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> ( m - K ) e. ( M ... N ) ) )
74	5	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( k e. ZZ /\ M <_ k /\ k <_ N ) )
75	74	simp1d 1073	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. ZZ )
76	75	ex 450	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) -> k e. ZZ ) )
77	44	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( m e. ZZ /\ ( M + K ) <_ m /\ m <_ ( N + K ) ) )
78	77	simp1d 1073	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> m e. ZZ )
79	78	ex 450	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> m e. ZZ ) )
80		zcn 11382	. . . . . . 7 |- ( m e. ZZ -> m e. CC )
81		zcn 11382	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
82		zcn 11382	. . . . . . 7 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
83		subadd 10284	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( m - K ) = k <-> ( K + k ) = m ) )
84		eqcom 2629	. . . . . . . . 9 |- ( ( m - K ) = k <-> k = ( m - K ) )
85		eqcom 2629	. . . . . . . . 9 |- ( ( K + k ) = m <-> m = ( K + k ) )
86	83, 84, 85	3bitr3g 302	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( K + k ) ) )
87		addcom 10222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
88	87	3adant1 1079	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( K + k ) = ( k + K ) )
89	88	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( m = ( K + k ) <-> m = ( k + K ) ) )
90	86, 89	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( m e. CC /\ K e. CC /\ k e. CC ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) )
91	80, 81, 82, 90	syl3an 1368	. . . . . 6 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) )
92	91	3coml 1272	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) )
93	92	3expib 1268	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) ) )
94	93	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) ) )
95	76, 79, 94	syl2and 500	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( k e. ( M ... N ) /\ m e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( k = ( m - K ) <-> m = ( k + K ) ) ) )
96	1, 2, 41, 73, 95	en3d 7992	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M ... N ) ~~ ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   ~~ cen 7952   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  fz01en  12369  fzen2  12768  hashfz  13214  mertenslem1  14616  hashdvds  15480  birthdaylem2  24679  eldioph2lem1  37323