Theorem genpv 9821

Description: Value of general operation (addition or multiplication) on positive reals. (Contributed by NM, 10-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	|- F = ( w e. P. , v e. P. |-> { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) } )
genp.2	|- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y G z ) e. Q. )

Assertion

Ref	Expression
genpv	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A F B ) = { f | E. g e. A E. h e. B f = ( g G h ) } )

Distinct variable groups:   x, y, z, f, g, h, A   x, B, y, z, f, g, h   x, w, v, G, y, z, f, g, h   f, F, g

Allowed substitution hints:   A( w, v)   B( w, v)   F( x, y, z, w, v, h)

Proof of Theorem genpv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . 4 |- ( f = A -> ( f F g ) = ( A F g ) )
2		rexeq 3139	. . . . 5 |- ( f = A -> ( E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) <-> E. y e. A E. z e. g x = ( y G z ) ) )
3	2	abbidv 2741	. . . 4 |- ( f = A -> { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } = { x | E. y e. A E. z e. g x = ( y G z ) } )
4	1, 3	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( f = A -> ( ( f F g ) = { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } <-> ( A F g ) = { x | E. y e. A E. z e. g x = ( y G z ) } ) )
5		oveq2 6658	. . . 4 |- ( g = B -> ( A F g ) = ( A F B ) )
6		rexeq 3139	. . . . . 6 |- ( g = B -> ( E. z e. g x = ( y G z ) <-> E. z e. B x = ( y G z ) ) )
7	6	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( g = B -> ( E. y e. A E. z e. g x = ( y G z ) <-> E. y e. A E. z e. B x = ( y G z ) ) )
8	7	abbidv 2741	. . . 4 |- ( g = B -> { x | E. y e. A E. z e. g x = ( y G z ) } = { x | E. y e. A E. z e. B x = ( y G z ) } )
9	5, 8	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( g = B -> ( ( A F g ) = { x | E. y e. A E. z e. g x = ( y G z ) } <-> ( A F B ) = { x | E. y e. A E. z e. B x = ( y G z ) } ) )
10		elprnq 9813	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. P. /\ y e. f ) -> y e. Q. )
11		elprnq 9813	. . . . . . . . 9 |- ( ( g e. P. /\ z e. g ) -> z e. Q. )
12		genp.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y G z ) e. Q. )
13		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y G z ) -> ( x e. Q. <-> ( y G z ) e. Q. ) )
14	12, 13	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( x = ( y G z ) -> x e. Q. ) )
15	10, 11, 14	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. P. /\ y e. f ) /\ ( g e. P. /\ z e. g ) ) -> ( x = ( y G z ) -> x e. Q. ) )
16	15	an4s 869	. . . . . . 7 |- ( ( ( f e. P. /\ g e. P. ) /\ ( y e. f /\ z e. g ) ) -> ( x = ( y G z ) -> x e. Q. ) )
17	16	rexlimdvva 3038	. . . . . 6 |- ( ( f e. P. /\ g e. P. ) -> ( E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) -> x e. Q. ) )
18	17	abssdv 3676	. . . . 5 |- ( ( f e. P. /\ g e. P. ) -> { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } C_ Q. )
19		nqex 9745	. . . . 5 |- Q. e. _V
20		ssexg 4804	. . . . 5 |- ( ( { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } C_ Q. /\ Q. e. _V ) -> { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } e. _V )
21	18, 19, 20	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( f e. P. /\ g e. P. ) -> { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } e. _V )
22		rexeq 3139	. . . . . 6 |- ( w = f -> ( E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) <-> E. y e. f E. z e. v x = ( y G z ) ) )
23	22	abbidv 2741	. . . . 5 |- ( w = f -> { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) } = { x | E. y e. f E. z e. v x = ( y G z ) } )
24		rexeq 3139	. . . . . . 7 |- ( v = g -> ( E. z e. v x = ( y G z ) <-> E. z e. g x = ( y G z ) ) )
25	24	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( v = g -> ( E. y e. f E. z e. v x = ( y G z ) <-> E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) ) )
26	25	abbidv 2741	. . . . 5 |- ( v = g -> { x | E. y e. f E. z e. v x = ( y G z ) } = { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } )
27		genp.1	. . . . 5 |- F = ( w e. P. , v e. P. |-> { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y G z ) } )
28	23, 26, 27	ovmpt2g 6795	. . . 4 |- ( ( f e. P. /\ g e. P. /\ { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } e. _V ) -> ( f F g ) = { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } )
29	21, 28	mpd3an3 1425	. . 3 |- ( ( f e. P. /\ g e. P. ) -> ( f F g ) = { x | E. y e. f E. z e. g x = ( y G z ) } )
30	4, 9, 29	vtocl2ga 3274	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A F B ) = { x | E. y e. A E. z e. B x = ( y G z ) } )
31		eqeq1 2626	. . . . 5 |- ( x = f -> ( x = ( y G z ) <-> f = ( y G z ) ) )
32	31	2rexbidv 3057	. . . 4 |- ( x = f -> ( E. y e. A E. z e. B x = ( y G z ) <-> E. y e. A E. z e. B f = ( y G z ) ) )
33		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( y = g -> ( y G z ) = ( g G z ) )
34	33	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( y = g -> ( f = ( y G z ) <-> f = ( g G z ) ) )
35		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( z = h -> ( g G z ) = ( g G h ) )
36	35	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( z = h -> ( f = ( g G z ) <-> f = ( g G h ) ) )
37	34, 36	cbvrex2v 3180	. . . 4 |- ( E. y e. A E. z e. B f = ( y G z ) <-> E. g e. A E. h e. B f = ( g G h ) )
38	32, 37	syl6bb 276	. . 3 |- ( x = f -> ( E. y e. A E. z e. B x = ( y G z ) <-> E. g e. A E. h e. B f = ( g G h ) ) )
39	38	cbvabv 2747	. 2 |- { x | E. y e. A E. z e. B x = ( y G z ) } = { f | E. g e. A E. h e. B f = ( g G h ) }
40	30, 39	syl6eq 2672	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( A F B ) = { f | E. g e. A E. h e. B f = ( g G h ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Q.cnq 9674   P.cnp 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-ni 9694  df-nq 9734  df-np 9803

This theorem is referenced by:  genpelv  9822  plpv  9832  mpv  9833