Theorem archirngz 29743

Description: Property of Archimedean left and right ordered groups. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archirng.b	|- B = ( Base ` W )
archirng.0	|- .0. = ( 0g ` W )
archirng.i	|- .< = ( lt ` W )
archirng.l	|- .<_ = ( le ` W )
archirng.x	|- .x. = (.g ` W )
archirng.1	|- ( ph -> W e. oGrp )
archirng.2	|- ( ph -> W e. Archi )
archirng.3	|- ( ph -> X e. B )
archirng.4	|- ( ph -> Y e. B )
archirng.5	|- ( ph -> .0. .< X )
archirngz.1	|- ( ph -> (oppg ` W ) e. oGrp )

Assertion

Ref	Expression
archirngz	|- ( ph -> E. n e. ZZ ( ( n .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) ) )

Distinct variable groups:   n, X   n, Y   ph, n   .0. , n   .<_ , n   .< , n   .x. , n

Allowed substitution hints:   B( n)   W( n)

Proof of Theorem archirngz

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 11413	. . 3 |- -u 1 e. ZZ
2		archirng.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> W e. oGrp )
3		ogrpgrp 29703	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. oGrp -> W e. Grp )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. Grp )
5		1zzd 11408	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
6		archirng.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. B )
7		archirng.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` W )
8		archirng.x	. . . . . . . . . 10 |- .x. = (.g ` W )
9		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( invg ` W ) = ( invg ` W )
10	7, 8, 9	mulgneg 17560	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Grp /\ 1 e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u 1 .x. X ) = ( ( invg ` W ) ` ( 1 .x. X ) ) )
11	4, 5, 6, 10	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u 1 .x. X ) = ( ( invg ` W ) ` ( 1 .x. X ) ) )
12	7, 8	mulg1 17548	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = X )
13	6, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 .x. X ) = X )
14	13	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( invg ` W ) ` ( 1 .x. X ) ) = ( ( invg ` W ) ` X ) )
15	11, 14	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u 1 .x. X ) = ( ( invg ` W ) ` X ) )
16		archirng.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .0. .< X )
17		archirng.i	. . . . . . . . . 10 |- .< = ( lt ` W )
18		archirng.0	. . . . . . . . . 10 |- .0. = ( 0g ` W )
19	7, 17, 9, 18	ogrpinv0lt 29723	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. oGrp /\ X e. B ) -> ( .0. .< X <-> ( ( invg ` W ) ` X ) .< .0. ) )
20	19	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. oGrp /\ X e. B ) /\ .0. .< X ) -> ( ( invg ` W ) ` X ) .< .0. )
21	2, 6, 16, 20	syl21anc 1325	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( invg ` W ) ` X ) .< .0. )
22	15, 21	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u 1 .x. X ) .< .0. )
23	22	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> ( -u 1 .x. X ) .< .0. )
24		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> Y = .0. )
25	23, 24	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> ( -u 1 .x. X ) .< Y )
26		isogrp 29702	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. oGrp <-> ( W e. Grp /\ W e. oMnd ) )
27	26	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- ( W e. oGrp -> W e. oMnd )
28		omndtos 29705	. . . . . . . . 9 |- ( W e. oMnd -> W e. Toset )
29	2, 27, 28	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. Toset )
30		tospos 29658	. . . . . . . 8 |- ( W e. Toset -> W e. Poset )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. Poset )
32	7, 18	grpidcl 17450	. . . . . . . 8 |- ( W e. Grp -> .0. e. B )
33	2, 3, 32	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> .0. e. B )
34		archirng.l	. . . . . . . 8 |- .<_ = ( le ` W )
35	7, 34	posref 16951	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Poset /\ .0. e. B ) -> .0. .<_ .0. )
36	31, 33, 35	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> .0. .<_ .0. )
37	36	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> .0. .<_ .0. )
38		1m1e0 11089	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 1 ) = 0
39	38	negeqi 10274	. . . . . . . . 9 |- -u ( 1 - 1 ) = -u 0
40		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
41	40, 40	negsubdii 10366	. . . . . . . . 9 |- -u ( 1 - 1 ) = ( -u 1 + 1 )
42		neg0 10327	. . . . . . . . 9 |- -u 0 = 0
43	39, 41, 42	3eqtr3i 2652	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
44	43	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( ( -u 1 + 1 ) .x. X ) = ( 0 .x. X )
45	7, 18, 8	mulg0 17546	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = .0. )
46	6, 45	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 .x. X ) = .0. )
47	44, 46	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( -u 1 + 1 ) .x. X ) = .0. )
48	47	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> ( ( -u 1 + 1 ) .x. X ) = .0. )
49	37, 24, 48	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> Y .<_ ( ( -u 1 + 1 ) .x. X ) )
50	25, 49	jca 554	. . 3 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> ( ( -u 1 .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( -u 1 + 1 ) .x. X ) ) )
51		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( n = -u 1 -> ( n .x. X ) = ( -u 1 .x. X ) )
52	51	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( n = -u 1 -> ( ( n .x. X ) .< Y <-> ( -u 1 .x. X ) .< Y ) )
53		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( n = -u 1 -> ( n + 1 ) = ( -u 1 + 1 ) )
54	53	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( n = -u 1 -> ( ( n + 1 ) .x. X ) = ( ( -u 1 + 1 ) .x. X ) )
55	54	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( n = -u 1 -> ( Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) <-> Y .<_ ( ( -u 1 + 1 ) .x. X ) ) )
56	52, 55	anbi12d 747	. . . 4 |- ( n = -u 1 -> ( ( ( n .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) ) <-> ( ( -u 1 .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( -u 1 + 1 ) .x. X ) ) ) )
57	56	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ ( ( -u 1 .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( -u 1 + 1 ) .x. X ) ) ) -> E. n e. ZZ ( ( n .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) ) )
58	1, 50, 57	sylancr 695	. 2 |- ( ( ph /\ Y = .0. ) -> E. n e. ZZ ( ( n .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) ) )
59		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
60	59	nn0zd 11480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> m e. ZZ )
61	60	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> m e. ZZ )
62	61	znegcld 11484	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> -u m e. ZZ )
63		2z 11409	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
64	63	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> 2 e. ZZ )
65	62, 64	zsubcld 11487	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> ( -u m - 2 ) e. ZZ )
66		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN0 -> m e. CC )
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> m e. CC )
68		2cnd 11093	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> 2 e. CC )
69	67, 68	negdi2d 10406	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> -u ( m + 2 ) = ( -u m - 2 ) )
70	69	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( m + 2 ) .x. X ) = ( ( -u m - 2 ) .x. X ) )
71	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> W e. oGrp )
72		archirngz.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (oppg ` W ) e. oGrp )
73	72	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> (oppg ` W ) e. oGrp )
74	71, 73	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp ) )
75	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> W e. Grp )
76	60	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( m + 1 ) e. ZZ )
77	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> X e. B )
78	7, 8	mulgcl 17559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Grp /\ ( m + 1 ) e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( m + 1 ) .x. X ) e. B )
79	75, 76, 77, 78	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( m + 1 ) .x. X ) e. B )
80	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> 2 e. ZZ )
81	60, 80	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( m + 2 ) e. ZZ )
82	7, 8	mulgcl 17559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Grp /\ ( m + 2 ) e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( m + 2 ) .x. X ) e. B )
83	75, 81, 77, 82	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( m + 2 ) .x. X ) e. B )
84	75, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> .0. e. B )
85	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> .0. .< X )
86		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
87	7, 17, 86	ogrpaddlt 29718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. oGrp /\ ( .0. e. B /\ X e. B /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) e. B ) /\ .0. .< X ) -> ( .0. ( +g ` W ) ( ( m + 1 ) .x. X ) ) .< ( X ( +g ` W ) ( ( m + 1 ) .x. X ) ) )
88	71, 84, 77, 79, 85, 87	syl131anc 1339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( .0. ( +g ` W ) ( ( m + 1 ) .x. X ) ) .< ( X ( +g ` W ) ( ( m + 1 ) .x. X ) ) )
89	7, 86, 18	grplid 17452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. Grp /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) e. B ) -> ( .0. ( +g ` W ) ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( ( m + 1 ) .x. X ) )
90	75, 79, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( .0. ( +g ` W ) ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( ( m + 1 ) .x. X ) )
91		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN0 -> 1 e. CC )
92	66, 91, 91	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN0 -> ( ( m + 1 ) + 1 ) = ( m + ( 1 + 1 ) ) )
93		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 + 1 ) = 2
94	93	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m + ( 1 + 1 ) ) = ( m + 2 )
95	92, 94	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN0 -> ( ( m + 1 ) + 1 ) = ( m + 2 ) )
96	66, 91	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN0 -> ( m + 1 ) e. CC )
97	96, 91	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN0 -> ( ( m + 1 ) + 1 ) = ( 1 + ( m + 1 ) ) )
98	95, 97	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN0 -> ( m + 2 ) = ( 1 + ( m + 1 ) ) )
99	98	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN0 -> ( ( m + 2 ) .x. X ) = ( ( 1 + ( m + 1 ) ) .x. X ) )
100	99	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( m + 2 ) .x. X ) = ( ( 1 + ( m + 1 ) ) .x. X ) )
101		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> 1 e. ZZ )
102	7, 8, 86	mulgdir 17573	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. Grp /\ ( 1 e. ZZ /\ ( m + 1 ) e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( 1 + ( m + 1 ) ) .x. X ) = ( ( 1 .x. X ) ( +g ` W ) ( ( m + 1 ) .x. X ) ) )
103	75, 101, 76, 77, 102	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( 1 + ( m + 1 ) ) .x. X ) = ( ( 1 .x. X ) ( +g ` W ) ( ( m + 1 ) .x. X ) ) )
104	77, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( 1 .x. X ) = X )
105	104	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( 1 .x. X ) ( +g ` W ) ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( X ( +g ` W ) ( ( m + 1 ) .x. X ) ) )
106	100, 103, 105	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( ( m + 2 ) .x. X ) )
107	88, 90, 106	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( m + 1 ) .x. X ) .< ( ( m + 2 ) .x. X ) )
108	7, 17, 9	ogrpinvlt 29724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) e. B /\ ( ( m + 2 ) .x. X ) e. B ) -> ( ( ( m + 1 ) .x. X ) .< ( ( m + 2 ) .x. X ) <-> ( ( invg ` W ) ` ( ( m + 2 ) .x. X ) ) .< ( ( invg ` W ) ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) )
109	108	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) e. B /\ ( ( m + 2 ) .x. X ) e. B ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .< ( ( m + 2 ) .x. X ) ) -> ( ( invg ` W ) ` ( ( m + 2 ) .x. X ) ) .< ( ( invg ` W ) ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) )
110	74, 79, 83, 107, 109	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( invg ` W ) ` ( ( m + 2 ) .x. X ) ) .< ( ( invg ` W ) ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) )
111	7, 8, 9	mulgneg 17560	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Grp /\ ( m + 2 ) e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u ( m + 2 ) .x. X ) = ( ( invg ` W ) ` ( ( m + 2 ) .x. X ) ) )
112	75, 81, 77, 111	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( m + 2 ) .x. X ) = ( ( invg ` W ) ` ( ( m + 2 ) .x. X ) ) )
113	7, 8, 9	mulgneg 17560	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Grp /\ ( m + 1 ) e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u ( m + 1 ) .x. X ) = ( ( invg ` W ) ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) )
114	75, 76, 77, 113	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( m + 1 ) .x. X ) = ( ( invg ` W ) ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) )
115	110, 112, 114	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( m + 2 ) .x. X ) .< ( -u ( m + 1 ) .x. X ) )
116	70, 115	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u m - 2 ) .x. X ) .< ( -u ( m + 1 ) .x. X ) )
117	116	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> ( ( -u m - 2 ) .x. X ) .< ( -u ( m + 1 ) .x. X ) )
118	114	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> ( -u ( m + 1 ) .x. X ) = ( ( invg ` W ) ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) )
119	31	ad4antr 768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> W e. Poset )
120		archirng.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. B )
121	7, 9	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` W ) ` Y ) e. B )
122	4, 120, 121	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( invg ` W ) ` Y ) e. B )
123	122	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( invg ` W ) ` Y ) e. B )
124	123	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> ( ( invg ` W ) ` Y ) e. B )
125	79	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> ( ( m + 1 ) .x. X ) e. B )
126		simplrr 801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) )
127		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) )
128	7, 34	posasymb 16952	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Poset /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) e. B /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) e. B ) -> ( ( ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) <-> ( ( invg ` W ) ` Y ) = ( ( m + 1 ) .x. X ) ) )
129	128	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Poset /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) e. B /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) e. B ) /\ ( ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) ) -> ( ( invg ` W ) ` Y ) = ( ( m + 1 ) .x. X ) )
130	119, 124, 125, 126, 127, 129	syl32anc 1334	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> ( ( invg ` W ) ` Y ) = ( ( m + 1 ) .x. X ) )
131	130	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Y ) ) = ( ( invg ` W ) ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) )
132	7, 9	grpinvinv 17482	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Y ) ) = Y )
133	4, 120, 132	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Y ) ) = Y )
134	133	ad4antr 768	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Y ) ) = Y )
135	118, 131, 134	3eqtr2rd 2663	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> Y = ( -u ( m + 1 ) .x. X ) )
136	117, 135	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> ( ( -u m - 2 ) .x. X ) .< Y )
137		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> 1 e. CC )
138	67, 68, 137	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( m + 2 ) - 1 ) = ( m + ( 2 - 1 ) ) )
139		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 - 1 ) = 1
140	139	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m + ( 2 - 1 ) ) = ( m + 1 )
141	138, 140	syl6req 2673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( m + 1 ) = ( ( m + 2 ) - 1 ) )
142	141	negeqd 10275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> -u ( m + 1 ) = -u ( ( m + 2 ) - 1 ) )
143	67, 68	addcld 10059	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( m + 2 ) e. CC )
144	143, 137	negsubdid 10407	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> -u ( ( m + 2 ) - 1 ) = ( -u ( m + 2 ) + 1 ) )
145	69	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( m + 2 ) + 1 ) = ( ( -u m - 2 ) + 1 ) )
146	142, 144, 145	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u m - 2 ) + 1 ) = -u ( m + 1 ) )
147	146	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u m - 2 ) + 1 ) .x. X ) = ( -u ( m + 1 ) .x. X ) )
148	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> W e. Toset )
149	148, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> W e. Poset )
150	60	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> -u m e. ZZ )
151	150, 80	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( -u m - 2 ) e. ZZ )
152	151	peano2zd 11485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u m - 2 ) + 1 ) e. ZZ )
153	7, 8	mulgcl 17559	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Grp /\ ( ( -u m - 2 ) + 1 ) e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( ( -u m - 2 ) + 1 ) .x. X ) e. B )
154	75, 152, 77, 153	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u m - 2 ) + 1 ) .x. X ) e. B )
155	7, 34	posref 16951	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Poset /\ ( ( ( -u m - 2 ) + 1 ) .x. X ) e. B ) -> ( ( ( -u m - 2 ) + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( ( -u m - 2 ) + 1 ) .x. X ) )
156	149, 154, 155	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( -u m - 2 ) + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( ( -u m - 2 ) + 1 ) .x. X ) )
157	147, 156	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( -u ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( ( -u m - 2 ) + 1 ) .x. X ) )
158	157	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> ( -u ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( ( -u m - 2 ) + 1 ) .x. X ) )
159	135, 158	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> Y .<_ ( ( ( -u m - 2 ) + 1 ) .x. X ) )
160		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( n = ( -u m - 2 ) -> ( n .x. X ) = ( ( -u m - 2 ) .x. X ) )
161	160	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( n = ( -u m - 2 ) -> ( ( n .x. X ) .< Y <-> ( ( -u m - 2 ) .x. X ) .< Y ) )
162		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( -u m - 2 ) -> ( n + 1 ) = ( ( -u m - 2 ) + 1 ) )
163	162	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( n = ( -u m - 2 ) -> ( ( n + 1 ) .x. X ) = ( ( ( -u m - 2 ) + 1 ) .x. X ) )
164	163	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( n = ( -u m - 2 ) -> ( Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) <-> Y .<_ ( ( ( -u m - 2 ) + 1 ) .x. X ) ) )
165	161, 164	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( n = ( -u m - 2 ) -> ( ( ( n .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) ) <-> ( ( ( -u m - 2 ) .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( ( -u m - 2 ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
166	165	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( -u m - 2 ) e. ZZ /\ ( ( ( -u m - 2 ) .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( ( -u m - 2 ) + 1 ) .x. X ) ) ) -> E. n e. ZZ ( ( n .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) ) )
167	65, 136, 159, 166	syl12anc 1324	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> E. n e. ZZ ( ( n .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) ) )
168	76	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) -> ( m + 1 ) e. ZZ )
169	168	znegcld 11484	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) -> -u ( m + 1 ) e. ZZ )
170	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) -> W e. oGrp )
171	72	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) -> (oppg ` W ) e. oGrp )
172	170, 171	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ ( m e. NN0 /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) -> ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp ) )
173	172	3anassrs 1290	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) -> ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp ) )
174	123	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( invg ` W ) ` Y ) e. B )
175	79	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( m + 1 ) .x. X ) e. B )
176		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) )
177	7, 17, 9	ogrpinvlt 29724	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) e. B /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) e. B ) -> ( ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) <-> ( ( invg ` W ) ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) .< ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Y ) ) ) )
178	177	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) e. B /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) e. B ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( invg ` W ) ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) .< ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Y ) ) )
179	173, 174, 175, 176, 178	syl31anc 1329	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( invg ` W ) ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) .< ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Y ) ) )
180	114	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) -> ( -u ( m + 1 ) .x. X ) = ( ( invg ` W ) ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) )
181	180	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( invg ` W ) ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( -u ( m + 1 ) .x. X ) )
182	133	ad4antr 768	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Y ) ) = Y )
183	179, 181, 182	3brtr3d 4684	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) -> ( -u ( m + 1 ) .x. X ) .< Y )
184		simp-4l 806	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) -> ph )
185	7, 8	mulgcl 17559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. Grp /\ m e. ZZ /\ X e. B ) -> ( m .x. X ) e. B )
186	75, 60, 77, 185	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( m .x. X ) e. B )
187	7, 17, 9	ogrpinvlt 29724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. oGrp /\ (oppg ` W ) e. oGrp ) /\ ( m .x. X ) e. B /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) e. B ) -> ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) <-> ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Y ) ) .< ( ( invg ` W ) ` ( m .x. X ) ) ) )
188	74, 186, 123, 187	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) <-> ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Y ) ) .< ( ( invg ` W ) ` ( m .x. X ) ) ) )
189	188	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) ) -> ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Y ) ) .< ( ( invg ` W ) ` ( m .x. X ) ) )
190	189	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) -> ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Y ) ) .< ( ( invg ` W ) ` ( m .x. X ) ) )
191	190	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Y ) ) .< ( ( invg ` W ) ` ( m .x. X ) ) )
192		negdi 10338	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( m + 1 ) = ( -u m + -u 1 ) )
193	66, 40, 192	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN0 -> -u ( m + 1 ) = ( -u m + -u 1 ) )
194	193	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN0 -> ( -u ( m + 1 ) + 1 ) = ( ( -u m + -u 1 ) + 1 ) )
195	66	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN0 -> -u m e. CC )
196	91	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN0 -> -u 1 e. CC )
197	195, 196, 91	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN0 -> ( ( -u m + -u 1 ) + 1 ) = ( -u m + ( -u 1 + 1 ) ) )
198	43	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u m + ( -u 1 + 1 ) ) = ( -u m + 0 )
199	198	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN0 -> ( -u m + ( -u 1 + 1 ) ) = ( -u m + 0 ) )
200	195	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN0 -> ( -u m + 0 ) = -u m )
201	197, 199, 200	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN0 -> ( ( -u m + -u 1 ) + 1 ) = -u m )
202	194, 201	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN0 -> ( -u ( m + 1 ) + 1 ) = -u m )
203	202	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN0 -> ( ( -u ( m + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( -u m .x. X ) )
204	203	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( m + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( -u m .x. X ) )
205	7, 8, 9	mulgneg 17560	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Grp /\ m e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u m .x. X ) = ( ( invg ` W ) ` ( m .x. X ) ) )
206	75, 60, 77, 205	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( -u m .x. X ) = ( ( invg ` W ) ` ( m .x. X ) ) )
207	204, 206	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( -u ( m + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( ( invg ` W ) ` ( m .x. X ) ) )
208	207	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( -u ( m + 1 ) + 1 ) .x. X ) = ( ( invg ` W ) ` ( m .x. X ) ) )
209	208	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) -> ( ( invg ` W ) ` ( m .x. X ) ) = ( ( -u ( m + 1 ) + 1 ) .x. X ) )
210	191, 182, 209	3brtr3d 4684	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) -> Y .< ( ( -u ( m + 1 ) + 1 ) .x. X ) )
211		ovexd 6680	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( -u ( m + 1 ) + 1 ) .x. X ) e. _V )
212	34, 17	pltle 16961	. . . . . . 7 |- ( ( W e. oGrp /\ Y e. B /\ ( ( -u ( m + 1 ) + 1 ) .x. X ) e. _V ) -> ( Y .< ( ( -u ( m + 1 ) + 1 ) .x. X ) -> Y .<_ ( ( -u ( m + 1 ) + 1 ) .x. X ) ) )
213	2, 120, 211, 212	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Y .< ( ( -u ( m + 1 ) + 1 ) .x. X ) -> Y .<_ ( ( -u ( m + 1 ) + 1 ) .x. X ) ) )
214	184, 210, 213	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) -> Y .<_ ( ( -u ( m + 1 ) + 1 ) .x. X ) )
215		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( n = -u ( m + 1 ) -> ( n .x. X ) = ( -u ( m + 1 ) .x. X ) )
216	215	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( n = -u ( m + 1 ) -> ( ( n .x. X ) .< Y <-> ( -u ( m + 1 ) .x. X ) .< Y ) )
217		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( n = -u ( m + 1 ) -> ( n + 1 ) = ( -u ( m + 1 ) + 1 ) )
218	217	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( n = -u ( m + 1 ) -> ( ( n + 1 ) .x. X ) = ( ( -u ( m + 1 ) + 1 ) .x. X ) )
219	218	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( n = -u ( m + 1 ) -> ( Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) <-> Y .<_ ( ( -u ( m + 1 ) + 1 ) .x. X ) ) )
220	216, 219	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( n = -u ( m + 1 ) -> ( ( ( n .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) ) <-> ( ( -u ( m + 1 ) .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( -u ( m + 1 ) + 1 ) .x. X ) ) ) )
221	220	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( -u ( m + 1 ) e. ZZ /\ ( ( -u ( m + 1 ) .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( -u ( m + 1 ) + 1 ) .x. X ) ) ) -> E. n e. ZZ ( ( n .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) ) )
222	169, 183, 214, 221	syl12anc 1324	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) -> E. n e. ZZ ( ( n .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) ) )
223	7, 34, 17	tlt2 29664	. . . . . 6 |- ( ( W e. Toset /\ ( ( m + 1 ) .x. X ) e. B /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) e. B ) -> ( ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) \/ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) )
224	148, 79, 123, 223	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) \/ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) )
225	224	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) -> ( ( ( m + 1 ) .x. X ) .<_ ( ( invg ` W ) ` Y ) \/ ( ( invg ` W ) ` Y ) .< ( ( m + 1 ) .x. X ) ) )
226	167, 222, 225	mpjaodan 827	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ Y .< .0. ) /\ m e. NN0 ) /\ ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) ) -> E. n e. ZZ ( ( n .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) ) )
227	2	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y .< .0. ) -> W e. oGrp )
228		archirng.2	. . . . 5 |- ( ph -> W e. Archi )
229	228	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y .< .0. ) -> W e. Archi )
230	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y .< .0. ) -> X e. B )
231	122	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y .< .0. ) -> ( ( invg ` W ) ` Y ) e. B )
232	16	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y .< .0. ) -> .0. .< X )
233	133	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Y ) ) .< .0. <-> Y .< .0. ) )
234	233	biimpar 502	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y .< .0. ) -> ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Y ) ) .< .0. )
235	7, 17, 9, 18	ogrpinv0lt 29723	. . . . . . 7 |- ( ( W e. oGrp /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) e. B ) -> ( .0. .< ( ( invg ` W ) ` Y ) <-> ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Y ) ) .< .0. ) )
236	2, 122, 235	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( .0. .< ( ( invg ` W ) ` Y ) <-> ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Y ) ) .< .0. ) )
237	236	biimpar 502	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( invg ` W ) ` ( ( invg ` W ) ` Y ) ) .< .0. ) -> .0. .< ( ( invg ` W ) ` Y ) )
238	234, 237	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y .< .0. ) -> .0. .< ( ( invg ` W ) ` Y ) )
239	7, 18, 17, 34, 8, 227, 229, 230, 231, 232, 238	archirng 29742	. . 3 |- ( ( ph /\ Y .< .0. ) -> E. m e. NN0 ( ( m .x. X ) .< ( ( invg ` W ) ` Y ) /\ ( ( invg ` W ) ` Y ) .<_ ( ( m + 1 ) .x. X ) ) )
240	226, 239	r19.29a 3078	. 2 |- ( ( ph /\ Y .< .0. ) -> E. n e. ZZ ( ( n .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) ) )
241		nn0ssz 11398	. . 3 |- NN0 C_ ZZ
242	2	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ .0. .< Y ) -> W e. oGrp )
243	228	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ .0. .< Y ) -> W e. Archi )
244	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ .0. .< Y ) -> X e. B )
245	120	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ .0. .< Y ) -> Y e. B )
246	16	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ .0. .< Y ) -> .0. .< X )
247		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ .0. .< Y ) -> .0. .< Y )
248	7, 18, 17, 34, 8, 242, 243, 244, 245, 246, 247	archirng 29742	. . 3 |- ( ( ph /\ .0. .< Y ) -> E. n e. NN0 ( ( n .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) ) )
249		ssrexv 3667	. . 3 |- ( NN0 C_ ZZ -> ( E. n e. NN0 ( ( n .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) ) -> E. n e. ZZ ( ( n .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) ) ) )
250	241, 248, 249	mpsyl 68	. 2 |- ( ( ph /\ .0. .< Y ) -> E. n e. ZZ ( ( n .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) ) )
251	7, 17	tlt3 29665	. . 3 |- ( ( W e. Toset /\ Y e. B /\ .0. e. B ) -> ( Y = .0. \/ Y .< .0. \/ .0. .< Y ) )
252	29, 120, 33, 251	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( Y = .0. \/ Y .< .0. \/ .0. .< Y ) )
253	58, 240, 250, 252	mpjao3dan 1395	1 |- ( ph -> E. n e. ZZ ( ( n .x. X ) .< Y /\ Y .<_ ( ( n + 1 ) .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   -ucneg 10267   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   lecple 15948   0gc0g 16100   Posetcpo 16940   ltcplt 16941  Tosetctos 17033   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  ._gcmg 17540  opp_gcoppg 17775  oMndcomnd 29697  oGrpcogrp 29698  Archicarchi 29731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-ple 15961  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-toset 17034  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-oppg 17776  df-omnd 29699  df-ogrp 29700  df-inftm 29732  df-archi 29733

This theorem is referenced by:  archiabllem2c  29749