Theorem lspsnneg 19006

Description: Negation does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 24-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnneg.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnneg.m	|- M = ( invg ` W )
lspsnneg.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsnneg	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( M ` X ) } ) = ( N ` { X } ) )

Proof of Theorem lspsnneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnneg.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
2		lspsnneg.m	. . . . . 6 |- M = ( invg ` W )
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
4		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
5		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( invg ` (Scalar ` W ) ) = ( invg ` (Scalar ` W ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lmodvneg1 18906	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( M ` X ) )
8	7	sneqd 4189	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) } = { ( M ` X ) } )
9	8	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) } ) = ( N ` { ( M ` X ) } ) )
10		simpl 473	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> W e. LMod )
11	3	lmodfgrp 18872	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> (Scalar ` W ) e. Grp )
12		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
13	3, 12, 5	lmod1cl 18890	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
14	12, 6	grpinvcl 17467	. . . . . 6 |- ( ( (Scalar ` W ) e. Grp /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
15	11, 13, 14	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
16	15	adantr 481	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
17		simpr 477	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. V )
18		lspsnneg.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
19	3, 12, 1, 4, 18	lspsnvsi 19004	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )
20	10, 16, 17, 19	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )
21	9, 20	eqsstr3d 3640	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( M ` X ) } ) C_ ( N ` { X } ) )
22	1, 2	lmodvnegcl 18904	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( M ` X ) e. V )
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	lmodvneg1 18906	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( M ` X ) e. V ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) = ( M ` ( M ` X ) ) )
24	22, 23	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) = ( M ` ( M ` X ) ) )
25		lmodgrp 18870	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
26	1, 2	grpinvinv 17482	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Grp /\ X e. V ) -> ( M ` ( M ` X ) ) = X )
27	25, 26	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( M ` ( M ` X ) ) = X )
28	24, 27	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) = X )
29	28	sneqd 4189	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) } = { X } )
30	29	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) } ) = ( N ` { X } ) )
31	3, 12, 1, 4, 18	lspsnvsi 19004	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( M ` X ) e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) } ) C_ ( N ` { ( M ` X ) } ) )
32	10, 16, 22, 31	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) ( M ` X ) ) } ) C_ ( N ` { ( M ` X ) } ) )
33	30, 32	eqsstr3d 3640	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) C_ ( N ` { ( M ` X ) } ) )
34	21, 33	eqssd 3620	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { ( M ` X ) } ) = ( N ` { X } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   1rcur 18501   LModclmod 18863   LSpanclspn 18971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972

This theorem is referenced by:  lspsnsub  19007  lmodindp1  19014  lspsntrim  19098  baerlem5amN  37005  baerlem5bmN  37006  baerlem5abmN  37007  hdmap1neglem1N  37117