Theorem iccordt 21018

Description: A closed interval is closed in the order topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iccordt	|- ( A [,] B ) e. ( Clsd ` (ordTop ` <_ ) )

Proof of Theorem iccordt

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6653	. 2 |- ( A [,] B ) = ( [,] ` <. A , B >. )
2		letsr 17227	. . . . . 6 |- <_ e. TosetRel
3		ledm 17224	. . . . . . 7 |- RR* = dom <_
4	3	ordtcld3 21003	. . . . . 6 |- ( ( <_ e. TosetRel /\ x e. RR* /\ y e. RR* ) -> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } e. ( Clsd ` (ordTop ` <_ ) ) )
5	2, 4	mp3an1 1411	. . . . 5 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } e. ( Clsd ` (ordTop ` <_ ) ) )
6	5	rgen2a 2977	. . . 4 |- A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } e. ( Clsd ` (ordTop ` <_ ) )
7		df-icc 12182	. . . . 5 |- [,] = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } )
8	7	fmpt2 7237	. . . 4 |- ( A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x <_ z /\ z <_ y ) } e. ( Clsd ` (ordTop ` <_ ) ) <-> [,] : ( RR* X. RR* ) --> ( Clsd ` (ordTop ` <_ ) ) )
9	6, 8	mpbi 220	. . 3 |- [,] : ( RR* X. RR* ) --> ( Clsd ` (ordTop ` <_ ) )
10		letop 21010	. . . 4 |- (ordTop ` <_ ) e. Top
11		0cld 20842	. . . 4 |- ( (ordTop ` <_ ) e. Top -> (/) e. ( Clsd ` (ordTop ` <_ ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 |- (/) e. ( Clsd ` (ordTop ` <_ ) )
13	9, 12	f0cli 6370	. 2 |- ( [,] ` <. A , B >. ) e. ( Clsd ` (ordTop ` <_ ) )
14	1, 13	eqeltri 2697	1 |- ( A [,] B ) e. ( Clsd ` (ordTop ` <_ ) )

Syntax hints:   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   (/)c0 3915   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   [,]cicc 12178  ordTopcordt 16159   TosetRel ctsr 17199   Topctop 20698   Clsdccld 20820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-icc 12182  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823

This theorem is referenced by:  lecldbas  21023