Theorem leordtval 21017

Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
leordtval.1	|- A = ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) )
leordtval.2	|- B = ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) )
leordtval.3	|- C = ran (,)

Assertion

Ref	Expression
leordtval	|- (ordTop ` <_ ) = ( topGen ` ( ( A u. B ) u. C ) )

Proof of Theorem leordtval

Dummy variables a b y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leordtval.1	. . 3 |- A = ran ( x e. RR* |-> ( x (,] +oo ) )
2		leordtval.2	. . 3 |- B = ran ( x e. RR* |-> ( -oo [,) x ) )
3	1, 2	leordtval2 21016	. 2 |- (ordTop ` <_ ) = ( topGen ` ( fi ` ( A u. B ) ) )
4		letsr 17227	. . . 4 |- <_ e. TosetRel
5		ledm 17224	. . . . 5 |- RR* = dom <_
6	1	leordtvallem1 21014	. . . . 5 |- A = ran ( x e. RR* |-> { y e. RR* | -. y <_ x } )
7	1, 2	leordtvallem2 21015	. . . . 5 |- B = ran ( x e. RR* |-> { y e. RR* | -. x <_ y } )
8		leordtval.3	. . . . . 6 |- C = ran (,)
9		df-ioo 12179	. . . . . . . 8 |- (,) = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( a < y /\ y < b ) } )
10		xrltnle 10105	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( a < y <-> -. y <_ a ) )
11	10	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( a < y <-> -. y <_ a ) )
12		xrltnle 10105	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( y < b <-> -. b <_ y ) )
13	12	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( y < b <-> -. b <_ y ) )
14	13	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( y < b <-> -. b <_ y ) )
15	11, 14	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ y e. RR* ) -> ( ( a < y /\ y < b ) <-> ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) ) )
16	15	rabbidva 3188	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) -> { y e. RR* | ( a < y /\ y < b ) } = { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
17	16	mpt2eq3ia 6720	. . . . . . . 8 |- ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( a < y /\ y < b ) } ) = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
18	9, 17	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- (,) = ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
19	18	rneqi 5352	. . . . . 6 |- ran (,) = ran ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
20	8, 19	eqtri 2644	. . . . 5 |- C = ran ( a e. RR* , b e. RR* |-> { y e. RR* | ( -. y <_ a /\ -. b <_ y ) } )
21	5, 6, 7, 20	ordtbas2 20995	. . . 4 |- ( <_ e. TosetRel -> ( fi ` ( A u. B ) ) = ( ( A u. B ) u. C ) )
22	4, 21	ax-mp 5	. . 3 |- ( fi ` ( A u. B ) ) = ( ( A u. B ) u. C )
23	22	fveq2i 6194	. 2 |- ( topGen ` ( fi ` ( A u. B ) ) ) = ( topGen ` ( ( A u. B ) u. C ) )
24	3, 23	eqtri 2644	1 |- (ordTop ` <_ ) = ( topGen ` ( ( A u. B ) u. C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   u. cun 3572   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ficfi 8316   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   [,)cico 12177   topGenctg 16098  ordTopcordt 16159   TosetRel ctsr 17199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-top 20699  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  iocpnfordt  21019  icomnfordt  21020  iooordt  21021  pnfnei  21024  mnfnei  21025  xrtgioo  22609