Theorem fourierdlem46 40369

Description: The function F has a limit at the bounds of every interval induced by the partition Q. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem46.cn	|- ( ph -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
fourierdlem46.rlim	|- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
fourierdlem46.llim	|- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
fourierdlem46.qiso	|- ( ph -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
fourierdlem46.qf	|- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
fourierdlem46.i	|- ( ph -> I e. ( 0..^ M ) )
fourierdlem46.10	|- ( ph -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
fourierdlem46.qiss	|- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -u pi (,) pi ) )
fourierdlem46.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem46.h	|- H = ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
fourierdlem46.ranq	|- ( ph -> ran Q = H )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem46	|- ( ph -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) /\ ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, I   x, Q   ph, x

Allowed substitution hints:   C( x)   H( x)   M( x)

Proof of Theorem fourierdlem46

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem46.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
2		pire 24210	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. RR
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. RR )
4	3	renegcld 10457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u pi e. RR )
5		fourierdlem46.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. RR )
6		tpssi 4369	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR /\ C e. RR ) -> { -u pi , pi , C } C_ RR )
7	4, 3, 5, 6	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { -u pi , pi , C } C_ RR )
8	4, 3	iccssred 39727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
9	8	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) C_ RR )
10	7, 9	unssd 3789	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) ) C_ RR )
11	1, 10	syl5eqss 3649	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H C_ RR )
12		fourierdlem46.qf	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> H )
13		fourierdlem46.i	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I e. ( 0..^ M ) )
14		elfzofz 12485	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> I e. ( 0 ... M ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. ( 0 ... M ) )
16	12, 15	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. H )
17	11, 16	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR )
18	17	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. RR )
19		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
20	13, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
21	12, 20	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. H )
22	11, 21	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
23	22	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
24	23	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
25		fourierdlem46.10	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
26	25	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
27		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` I ) e. dom F /\ x = ( Q ` I ) ) -> x = ( Q ` I ) )
28		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` I ) e. dom F /\ x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) e. dom F )
29	27, 28	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Q ` I ) e. dom F /\ x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
30	29	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
31	30	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
32		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) C_ ( { -u pi , pi , C } u. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
33	32, 1	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) C_ H
34		fourierdlem46.qiss	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -u pi (,) pi ) )
35		ioossicc 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -u pi (,) pi ) C_ ( -u pi [,] pi )
36	34, 35	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
37	36	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. ( -u pi [,] pi ) )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ( -u pi [,] pi ) )
39		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> -. x e. dom F )
40	38, 39	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ( ( -u pi [,] pi ) \ dom F ) )
41	33, 40	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. H )
42		fourierdlem46.ranq	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ran Q = H )
43	42	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H = ran Q )
44	43	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> H = ran Q )
45	41, 44	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> x e. ran Q )
46		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> x e. ran Q )
47		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> H -> Q Fn ( 0 ... M ) )
48	12, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> Q Fn ( 0 ... M ) )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> Q Fn ( 0 ... M ) )
50		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Q Fn ( 0 ... M ) -> ( x e. ran Q <-> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> ( x e. ran Q <-> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x ) )
52	46, 51	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ran Q ) -> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x )
53	52	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) -> E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x )
54		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. ZZ )
55	54	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> j e. ZZ )
56		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ph )
57		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> j e. ( 0 ... M ) )
58		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ( Q ` j ) = x )
59		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
60	58, 59	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
61	60	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
62		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( I e. ( 0..^ M ) -> I e. ZZ )
63	13, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> I e. ZZ )
64	63	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> I e. ZZ )
65	17	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. RR* )
66	65	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
67	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
68		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
69		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) )
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) )
71		fourierdlem46.qiso	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
72	71	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) )
73	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> I e. ( 0 ... M ) )
74		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
75		isorel 6576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( I e. ( 0 ... M ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( I < j <-> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) ) )
76	72, 73, 74, 75	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( I < j <-> ( Q ` I ) < ( Q ` j ) ) )
77	70, 76	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> I < j )
78		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
79	66, 67, 68, 78	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
80	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
81		isorel 6576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Q Isom < , < ( ( 0 ... M ) , H ) /\ ( j e. ( 0 ... M ) /\ ( I + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) ) -> ( j < ( I + 1 ) <-> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
82	72, 74, 80, 81	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( j < ( I + 1 ) <-> ( Q ` j ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
83	79, 82	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> j < ( I + 1 ) )
84		btwnnz 11453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( I e. ZZ /\ I < j /\ j < ( I + 1 ) ) -> -. j e. ZZ )
85	64, 77, 83, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> -. j e. ZZ )
86	56, 57, 61, 85	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> -. j e. ZZ )
87	86	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( Q ` j ) = x ) -> -. j e. ZZ )
88	55, 87	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> -. ( Q ` j ) = x )
89	88	nrexdv 3001	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x e. ran Q ) -> -. E. j e. ( 0 ... M ) ( Q ` j ) = x )
90	53, 89	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> -. x e. ran Q )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x e. dom F ) -> -. x e. ran Q )
92	45, 91	condan 835	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. dom F )
93	92	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
94		dfss3 3592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F <-> A. x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
95	93, 94	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
96	95	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
97	65	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
98	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
99		icossre 12254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* ) -> ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
100	17, 23, 99	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
101	100	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. RR )
103	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) e. RR )
104	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
105	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
106		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
107		icogelb 12225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) <_ x )
108	104, 105, 106, 107	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) <_ x )
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) <_ x )
110		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x = ( Q ` I ) -> x =/= ( Q ` I ) )
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x =/= ( Q ` I ) )
112	103, 102, 109, 111	leneltd 10191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> ( Q ` I ) < x )
113		icoltub 39732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
114	104, 105, 106, 113	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
115	114	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
116	97, 98, 102, 112, 115	eliood 39720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
117	96, 116	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
118	117	adantllr 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` I ) ) -> x e. dom F )
119	31, 118	pm2.61dan 832	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. dom F )
120	119	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> A. x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
121		dfss3 3592	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F <-> A. x e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
122	120, 121	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
123		fourierdlem46.cn	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
124	123	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
125		rescncf 22700	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F -> ( F e. ( dom F -cn-> CC ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
126	122, 124, 125	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
127	18, 24, 26, 126	icocncflimc 40102	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
128	17	leidd 10594	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` I ) <_ ( Q ` I ) )
129	65, 23, 65, 128, 25	elicod 12224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
130		fvres 6207	. . . . . . . 8 |- ( ( Q ` I ) e. ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) = ( F ` ( Q ` I ) ) )
131	129, 130	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) = ( F ` ( Q ` I ) ) )
132	131	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` ( Q ` I ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) )
133	132	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F ` ( Q ` I ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` I ) ) )
134		ioossico 12262	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) )
135	134	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
136	135	resabs1d 5428	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
137	136	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
138	137	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) [,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
139	127, 133, 138	3eltr4d 2716	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( F ` ( Q ` I ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
140		ne0i 3921	. . . 4 |- ( ( F ` ( Q ` I ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
141	139, 140	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
142		pnfxr 10092	. . . . . . . . 9 |- +oo e. RR*
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> +oo e. RR* )
144	22	ltpnfd 11955	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) < +oo )
145	23, 143, 144	xrltled 39486	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ +oo )
146		iooss2 12211	. . . . . . . . 9 |- ( ( +oo e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ +oo ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,) +oo ) )
147	142, 145, 146	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,) +oo ) )
148	147	resabs1d 5428	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
149	148	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
150	149	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
151	150	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
152		limcresi 23649	. . . . 5 |- ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) C_ ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) )
153	17	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. RR )
154		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ph )
155	2	renegcli 10342	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi e. RR
156	155	rexri 10097	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi e. RR*
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi e. RR* )
158	2	rexri 10097	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR*
159	158	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> pi e. RR* )
160	4, 3, 17, 22, 25, 34	fourierdlem10 40334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi <_ ( Q ` I ) /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ pi ) )
161	160	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ ( Q ` I ) )
162	160	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ pi )
163	17, 22, 3, 25, 162	ltletrd 10197	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` I ) < pi )
164	157, 159, 65, 161, 163	elicod 12224	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` I ) e. ( -u pi [,) pi ) )
165	164	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. ( -u pi [,) pi ) )
166		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> -. ( Q ` I ) e. dom F )
167	165, 166	eldifd 3585	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) )
168	154, 167	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) )
169		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) <-> ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) )
170	169	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) <-> ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) ) )
171		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( x (,) +oo ) = ( ( Q ` I ) (,) +oo ) )
172	171	reseq2d 5396	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( F |` ( x (,) +oo ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) )
173		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` I ) -> x = ( Q ` I ) )
174	172, 173	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) )
175	174	neeq1d 2853	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) <-> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) )
176	170, 175	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = ( Q ` I ) -> ( ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) ) <-> ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) ) )
177		fourierdlem46.rlim	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( x (,) +oo ) ) lim CC x ) =/= (/) )
178	176, 177	vtoclg 3266	. . . . . 6 |- ( ( Q ` I ) e. RR -> ( ( ph /\ ( Q ` I ) e. ( ( -u pi [,) pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) )
179	153, 168, 178	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
180		ssn0 3976	. . . . 5 |- ( ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) C_ ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) /\ ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) ) -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
181	152, 179, 180	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) +oo ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
182	151, 181	eqnetrd 2861	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` I ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
183	141, 182	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) )
184	65	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
185	22	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
186	25	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` I ) < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
187		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
188		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F )
189	187, 188	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
190	189	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
191	190	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
192	95	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
193	65	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
194	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
195	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) e. RR* )
196	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
197		iocssre 12253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
198	195, 196, 197	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ RR )
199		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
200	198, 199	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. RR )
201	200	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. RR )
202	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
203		iocgtlb 39724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < x )
204	195, 202, 199, 203	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> ( Q ` I ) < x )
205	204	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` I ) < x )
206	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
207		iocleub 39725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Q ` I ) e. RR* /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
208	195, 202, 199, 207	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
209	208	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
210		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> x =/= ( Q ` ( I + 1 ) ) )
211	210	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) =/= x )
212	211	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) =/= x )
213	201, 206, 209, 212	leneltd 10191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
214	193, 194, 201, 205, 213	eliood 39720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
215	192, 214	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
216	215	adantllr 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) /\ -. x = ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> x e. dom F )
217	191, 216	pm2.61dan 832	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) /\ x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) -> x e. dom F )
218	217	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> A. x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
219		dfss3 3592	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F <-> A. x e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) x e. dom F )
220	218, 219	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F )
221	123	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> F e. ( dom F -cn-> CC ) )
222		rescncf 22700	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ dom F -> ( F e. ( dom F -cn-> CC ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
223	220, 221, 222	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
224	184, 185, 186, 223	ioccncflimc 40098	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
225	22	leidd 10594	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ ( Q ` ( I + 1 ) ) )
226	65, 23, 23, 25, 225	eliocd 39730	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
227		fvres 6207	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
228	226, 227	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
229	228	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
230		ioossioc 39713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) )
231		resabs1 5427	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
232	230, 231	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
233	232	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
234	233	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) )
235	234	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
236	229, 235	eleq12d 2695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) <-> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
237	236	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) <-> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,] ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
238	224, 237	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
239		ne0i 3921	. . . 4 |- ( ( F ` ( Q ` ( I + 1 ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
240	238, 239	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
241		mnfxr 10096	. . . . . . . . 9 |- -oo e. RR*
242	241	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -oo e. RR* )
243	17	mnfltd 11958	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -oo < ( Q ` I ) )
244	242, 65, 243	xrltled 39486	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -oo <_ ( Q ` I ) )
245		iooss1 12210	. . . . . . . . 9 |- ( ( -oo e. RR* /\ -oo <_ ( Q ` I ) ) -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
246	241, 244, 245	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
247	246	resabs1d 5428	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
248	247	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
249	248	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
250	249	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) = ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
251		limcresi 23649	. . . . 5 |- ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) )
252	22	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR )
253		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ph )
254	156	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> -u pi e. RR* )
255	158	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> pi e. RR* )
256	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR* )
257	4, 17, 22, 161, 25	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
258	257	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> -u pi < ( Q ` ( I + 1 ) ) )
259	162	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) <_ pi )
260	254, 255, 256, 258, 259	eliocd 39730	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( -u pi (,] pi ) )
261		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F )
262	260, 261	eldifd 3585	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) )
263	253, 262	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) )
264		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) <-> ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) )
265	264	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) <-> ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) ) )
266		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( -oo (,) x ) = ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
267	266	reseq2d 5396	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( F |` ( -oo (,) x ) ) = ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) )
268		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> x = ( Q ` ( I + 1 ) ) )
269	267, 268	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) = ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) )
270	269	neeq1d 2853	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) <-> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )
271	265, 270	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = ( Q ` ( I + 1 ) ) -> ( ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) ) <-> ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) ) )
272		fourierdlem46.llim	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) x ) ) lim CC x ) =/= (/) )
273	271, 272	vtoclg 3266	. . . . . 6 |- ( ( Q ` ( I + 1 ) ) e. RR -> ( ( ph /\ ( Q ` ( I + 1 ) ) e. ( ( -u pi (,] pi ) \ dom F ) ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )
274	252, 263, 273	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
275		ssn0 3976	. . . . 5 |- ( ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) C_ ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) /\ ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
276	251, 274, 275	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
277	250, 276	eqnetrd 2861	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( Q ` ( I + 1 ) ) e. dom F ) -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
278	240, 277	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) )
279	183, 278	jca 554	1 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` I ) ) =/= (/) /\ ( ( F |` ( ( Q ` I ) (,) ( Q ` ( I + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I + 1 ) ) ) =/= (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {ctp 4181   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   ZZcz 11377   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   picpi 14797   -cn->ccncf 22679   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem102  40425  fourierdlem114  40437