Theorem limcresioolb 39875

Description: The right limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcresioolb.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
limcresioolb.b	|- ( ph -> B e. RR )
limcresioolb.c	|- ( ph -> C e. RR* )
limcresioolb.bltc	|- ( ph -> B < C )
limcresioolb.bcss	|- ( ph -> ( B (,) C ) C_ A )
limcresioolb.d	|- ( ph -> D e. RR* )
limcresioolb.cled	|- ( ph -> C <_ D )

Assertion

Ref	Expression
limcresioolb	|- ( ph -> ( ( F |` ( B (,) C ) ) lim CC B ) = ( ( F |` ( B (,) D ) ) lim CC B ) )

Proof of Theorem limcresioolb

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcresioolb.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR* )
2		limcresioolb.cled	. . . . . 6 |- ( ph -> C <_ D )
3		iooss2 12211	. . . . . 6 |- ( ( D e. RR* /\ C <_ D ) -> ( B (,) C ) C_ ( B (,) D ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ ( B (,) D ) )
5	4	resabs1d 5428	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` ( B (,) D ) ) |` ( B (,) C ) ) = ( F |` ( B (,) C ) ) )
6	5	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( B (,) C ) ) = ( ( F |` ( B (,) D ) ) |` ( B (,) C ) ) )
7	6	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( B (,) C ) ) lim CC B ) = ( ( ( F |` ( B (,) D ) ) |` ( B (,) C ) ) lim CC B ) )
8		limcresioolb.f	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> CC )
9		fresin 6073	. . . 4 |- ( F : A --> CC -> ( F |` ( B (,) D ) ) : ( A i^i ( B (,) D ) ) --> CC )
10	8, 9	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( B (,) D ) ) : ( A i^i ( B (,) D ) ) --> CC )
11		limcresioolb.bcss	. . . 4 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ A )
12	11, 4	ssind 3837	. . 3 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ ( A i^i ( B (,) D ) ) )
13		inss2 3834	. . . . 5 |- ( A i^i ( B (,) D ) ) C_ ( B (,) D )
14		ioosscn 39716	. . . . 5 |- ( B (,) D ) C_ CC
15	13, 14	sstri 3612	. . . 4 |- ( A i^i ( B (,) D ) ) C_ CC
16	15	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i ( B (,) D ) ) C_ CC )
17		eqid 2622	. . 3 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
18		eqid 2622	. . 3 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) )
19		limcresioolb.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
20	19	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR* )
21		limcresioolb.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR* )
22		limcresioolb.bltc	. . . . 5 |- ( ph -> B < C )
23		lbico1 12228	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B < C ) -> B e. ( B [,) C ) )
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> B e. ( B [,) C ) )
25		snunioo1 39738	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B < C ) -> ( ( B (,) C ) u. { B } ) = ( B [,) C ) )
26	20, 21, 22, 25	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B (,) C ) u. { B } ) = ( B [,) C ) )
27	26	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) ` ( ( B (,) C ) u. { B } ) ) = ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) ` ( B [,) C ) ) )
28	17	cnfldtop 22587	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
29		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( B (,) D ) e. _V
30	29	inex2 4800	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i ( B (,) D ) ) e. _V
31		snex 4908	. . . . . . . . 9 |- { B } e. _V
32	30, 31	unex 6956	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) e. _V
33		resttop 20964	. . . . . . . 8 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) e. _V ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) e. Top )
34	28, 32, 33	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) e. Top
35	34	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) e. Top )
36		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . 13 |- -oo e. RR*
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) -> -oo e. RR* )
38	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) -> C e. RR* )
39		icossre 12254	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR* ) -> ( B [,) C ) C_ RR )
40	19, 21, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( B [,) C ) C_ RR )
41	40	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) -> x e. RR )
42	41	mnfltd 11958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) -> -oo < x )
43	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) -> B e. RR* )
44		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) -> x e. ( B [,) C ) )
45		icoltub 39732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ x e. ( B [,) C ) ) -> x < C )
46	43, 38, 44, 45	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) -> x < C )
47	37, 38, 41, 42, 46	eliood 39720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) -> x e. ( -oo (,) C ) )
48		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x = B ) -> x = B )
49		snidg 4206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. RR -> B e. { B } )
50		elun2 3781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. { B } -> B e. ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) )
51	19, 49, 50	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x = B ) -> B e. ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) )
53	48, 52	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x = B ) -> x e. ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) )
54	53	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) /\ x = B ) -> x e. ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) )
55		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) /\ -. x = B ) -> ph )
56	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) /\ -. x = B ) -> B e. RR* )
57	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) /\ -. x = B ) -> C e. RR* )
58	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) /\ -. x = B ) -> x e. RR )
59	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) /\ -. x = B ) -> B e. RR )
60		icogelb 12225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ x e. ( B [,) C ) ) -> B <_ x )
61	43, 38, 44, 60	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) -> B <_ x )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) /\ -. x = B ) -> B <_ x )
63		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. x = B -> x =/= B )
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) /\ -. x = B ) -> x =/= B )
65	59, 58, 62, 64	leneltd 10191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) /\ -. x = B ) -> B < x )
66	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) /\ -. x = B ) -> x < C )
67	56, 57, 58, 65, 66	eliood 39720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) /\ -. x = B ) -> x e. ( B (,) C ) )
68	12	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. ( A i^i ( B (,) D ) ) )
69		elun1 3780	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( A i^i ( B (,) D ) ) -> x e. ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) )
71	55, 67, 70	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) /\ -. x = B ) -> x e. ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) )
72	54, 71	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) -> x e. ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) )
73	47, 72	elind 3798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( B [,) C ) ) -> x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) )
74	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x = B ) -> B e. ( B [,) C ) )
75	48, 74	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x = B ) -> x e. ( B [,) C ) )
76	75	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) /\ x = B ) -> x e. ( B [,) C ) )
77		ioossico 12262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B (,) C ) C_ ( B [,) C )
78	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) /\ -. x = B ) -> B e. RR* )
79	21	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) /\ -. x = B ) -> C e. RR* )
80		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) -> x e. ( -oo (,) C ) )
81	80	elioored 39776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) -> x e. RR )
82	81	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) /\ -. x = B ) -> x e. RR )
83	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) /\ -. x = B ) -> D e. RR* )
84		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) -> x e. ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) )
85		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. x = B -> -. x = B )
86		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. { B } <-> x = B )
87	85, 86	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x = B -> -. x e. { B } )
88		elunnel2 39198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) /\ -. x e. { B } ) -> x e. ( A i^i ( B (,) D ) ) )
89	84, 87, 88	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> x e. ( A i^i ( B (,) D ) ) )
90	13, 89	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> x e. ( B (,) D ) )
91	90	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) /\ -. x = B ) -> x e. ( B (,) D ) )
92		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR* /\ D e. RR* /\ x e. ( B (,) D ) ) -> B < x )
93	78, 83, 91, 92	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) /\ -. x = B ) -> B < x )
94	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) -> -oo e. RR* )
95	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) -> C e. RR* )
96	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) -> x e. ( -oo (,) C ) )
97		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -oo e. RR* /\ C e. RR* /\ x e. ( -oo (,) C ) ) -> x < C )
98	94, 95, 96, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) -> x < C )
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) /\ -. x = B ) -> x < C )
100	78, 79, 82, 93, 99	eliood 39720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) /\ -. x = B ) -> x e. ( B (,) C ) )
101	77, 100	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) /\ -. x = B ) -> x e. ( B [,) C ) )
102	76, 101	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) -> x e. ( B [,) C ) )
103	73, 102	impbida 877	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( B [,) C ) <-> x e. ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) )
104	103	eqrdv 2620	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B [,) C ) = ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) )
105		retop 22565	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
106	105	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( topGen ` ran (,) ) e. Top )
107	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) e. _V )
108		iooretop 22569	. . . . . . . . . 10 |- ( -oo (,) C ) e. ( topGen ` ran (,) )
109	108	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -oo (,) C ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
110		elrestr 16089	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) e. _V /\ ( -oo (,) C ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) )
111	106, 107, 109, 110	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( -oo (,) C ) i^i ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) )
112	104, 111	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B [,) C ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) )
113	17	tgioo2 22606	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
114	113	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) )
115	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
116		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B (,) D ) C_ RR
117	13, 116	sstri 3612	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i ( B (,) D ) ) C_ RR
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A i^i ( B (,) D ) ) C_ RR )
119	19	snssd 4340	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { B } C_ RR )
120	118, 119	unssd 3789	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) C_ RR )
121		reex 10027	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
122	121	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> RR e. _V )
123		restabs 20969	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) C_ RR /\ RR e. _V ) -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) )
124	115, 120, 122, 123	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) )
125	114, 124	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) )
126	112, 125	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B [,) C ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) )
127		isopn3i 20886	. . . . . 6 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) e. Top /\ ( B [,) C ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) ` ( B [,) C ) ) = ( B [,) C ) )
128	35, 126, 127	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) ` ( B [,) C ) ) = ( B [,) C ) )
129	27, 128	eqtr2d 2657	. . . 4 |- ( ph -> ( B [,) C ) = ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) ` ( ( B (,) C ) u. { B } ) ) )
130	24, 129	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ph -> B e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( B (,) D ) ) u. { B } ) ) ) ` ( ( B (,) C ) u. { B } ) ) )
131	10, 12, 16, 17, 18, 130	limcres 23650	. 2 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( B (,) D ) ) |` ( B (,) C ) ) lim CC B ) = ( ( F |` ( B (,) D ) ) lim CC B ) )
132	7, 131	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( ( F |` ( B (,) C ) ) lim CC B ) = ( ( F |` ( B (,) D ) ) lim CC B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698   intcnt 20821   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  fouriersw  40448