Theorem hoidmv1lelem2 40806

Description: This is the contradiction proven in step (c) in the proof of Lemma 114B of [Fremlin1] p. 23. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmv1lelem2.a	|- ( ph -> A e. RR )
hoidmv1lelem2.b	|- ( ph -> B e. RR )
hoidmv1lelem2.c	|- ( ph -> C : NN --> RR )
hoidmv1lelem2.d	|- ( ph -> D : NN --> RR )
hoidmv1lelem2.r	|- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
hoidmv1lelem2.u	|- U = { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) }
hoidmv1lelem2.e	|- ( ph -> S e. U )
hoidmv1lelem2.g	|- ( ph -> A <_ S )
hoidmv1lelem2.l	|- ( ph -> S < B )
hoidmv1lelem2.k	|- ( ph -> K e. NN )
hoidmv1lelem2.s	|- ( ph -> S e. ( ( C ` K ) [,) ( D ` K ) ) )
hoidmv1lelem2.m	|- M = if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B )

Assertion

Ref	Expression
hoidmv1lelem2	|- ( ph -> E. u e. U S < u )

Distinct variable groups:   z, A   z, B   C, j, z   D, j, z   j, K   j, M, z   u, M   S, j, z   u, S   u, U   ph, j

Allowed substitution hints:   ph( z, u)   A( u, j)   B( u, j)   C( u)   D( u)   U( z, j)   K( z, u)

Proof of Theorem hoidmv1lelem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmv1lelem2.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
2		hoidmv1lelem2.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
3		hoidmv1lelem2.m	. . . . . . . 8 |- M = if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B )
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> M = if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) )
5		hoidmv1lelem2.d	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D : NN --> RR )
6		hoidmv1lelem2.k	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. NN )
7	5, 6	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D ` K ) e. RR )
8	7, 2	ifcld 4131	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) e. RR )
9	4, 8	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR )
10		hoidmv1lelem2.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C : NN --> RR )
11	10, 6	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ` K ) e. RR )
12	7	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D ` K ) e. RR* )
13		icossre 12254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C ` K ) e. RR /\ ( D ` K ) e. RR* ) -> ( ( C ` K ) [,) ( D ` K ) ) C_ RR )
14	11, 12, 13	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C ` K ) [,) ( D ` K ) ) C_ RR )
15		hoidmv1lelem2.s	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. ( ( C ` K ) [,) ( D ` K ) ) )
16	14, 15	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. RR )
17		hoidmv1lelem2.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A <_ S )
18	11	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C ` K ) e. RR* )
19		icoltub 39732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C ` K ) e. RR* /\ ( D ` K ) e. RR* /\ S e. ( ( C ` K ) [,) ( D ` K ) ) ) -> S < ( D ` K ) )
20	18, 12, 15, 19	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S < ( D ` K ) )
21	16, 7, 20	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S <_ ( D ` K ) )
22		hoidmv1lelem2.l	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S < B )
23	16, 2, 22	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S <_ B )
24	21, 23	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S <_ ( D ` K ) /\ S <_ B ) )
25		lemin 12023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. RR /\ ( D ` K ) e. RR /\ B e. RR ) -> ( S <_ if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) <-> ( S <_ ( D ` K ) /\ S <_ B ) ) )
26	16, 7, 2, 25	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S <_ if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) <-> ( S <_ ( D ` K ) /\ S <_ B ) ) )
27	24, 26	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S <_ if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) )
28	1, 16, 8, 17, 27	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ph -> A <_ if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) )
29	4	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) = M )
30	28, 29	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ph -> A <_ M )
31		min2 12021	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D ` K ) e. RR /\ B e. RR ) -> if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) <_ B )
32	7, 2, 31	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) <_ B )
33	4, 32	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ph -> M <_ B )
34	1, 2, 9, 30, 33	eliccd 39726	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( A [,] B ) )
35	9	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. CC )
36	16	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. CC )
37	1	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
38	35, 36, 37	npncand 10416	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M - S ) + ( S - A ) ) = ( M - A ) )
39	38	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M - A ) = ( ( M - S ) + ( S - A ) ) )
40	9, 16	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M - S ) e. RR )
41	16, 1	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S - A ) e. RR )
42	40, 41	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M - S ) + ( S - A ) ) e. RR )
43		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN e. _V
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> NN e. _V )
45		volf 23297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) )
47	10	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. RR )
48	5	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. RR )
49	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> S e. RR )
50	48, 49	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) e. RR )
51	50	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) e. RR* )
52		icombl 23332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol )
53	47, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol )
54	46, 53	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
55		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) )
56	54, 55	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
57	44, 56	sge0xrcl 40602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. RR* )
58		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e. RR*
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> +oo e. RR* )
60		hoidmv1lelem2.r	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR )
61	60	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) e. RR* )
62		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j ph
63	48	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. RR* )
64		icombl 23332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ ( D ` j ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol )
65	47, 63, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol )
66	46, 65	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
67	47	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. RR* )
68	47	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) <_ ( C ` j ) )
69		min1 12020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D ` j ) e. RR /\ S e. RR ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ ( D ` j ) )
70	48, 49, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ ( D ` j ) )
71		icossico 12243	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( C ` j ) e. RR* /\ ( D ` j ) e. RR* ) /\ ( ( C ` j ) <_ ( C ` j ) /\ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ ( D ` j ) ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
72	67, 63, 68, 70, 71	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
73		volss 23301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
74	53, 65, 72, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
75	62, 44, 54, 66, 74	sge0lempt 40627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) )
76	60	ltpnfd 11955	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) < +oo )
77	57, 61, 59, 75, 76	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) < +oo )
78	57, 59, 77	xrltned 39573	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) =/= +oo )
79	78	neneqd 2799	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) = +oo )
80	44, 56	sge0repnf 40603	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) = +oo ) )
81	79, 80	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. RR )
82	40, 81	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M - S ) + (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) e. RR )
83	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> M e. RR )
84	48, 83	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) e. RR )
85	84	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) e. RR* )
86		icombl 23332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C ` j ) e. RR /\ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) e. RR* ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) e. dom vol )
87	47, 85, 86	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) e. dom vol )
88	46, 87	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
89		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) )
90	88, 89	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
91	44, 90	sge0xrcl 40602	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) e. RR* )
92		min1 12020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D ` j ) e. RR /\ M e. RR ) -> if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) <_ ( D ` j ) )
93	48, 83, 92	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) <_ ( D ` j ) )
94		icossico 12243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( C ` j ) e. RR* /\ ( D ` j ) e. RR* ) /\ ( ( C ` j ) <_ ( C ` j ) /\ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) <_ ( D ` j ) ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
95	67, 63, 68, 93, 94	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
96		volss 23301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
97	87, 65, 95, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) )
98	62, 44, 88, 66, 97	sge0lempt 40627	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) ) ) )
99	91, 61, 59, 98, 76	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) < +oo )
100	91, 59, 99	xrltned 39573	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) =/= +oo )
101	100	neneqd 2799	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) = +oo )
102	44, 90	sge0repnf 40603	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) = +oo ) )
103	101, 102	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) e. RR )
104		hoidmv1lelem2.e	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. U )
105		hoidmv1lelem2.u	. . . . . . . . . . 11 |- U = { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) }
106	104, 105	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } )
107		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = S -> ( z - A ) = ( S - A ) )
108		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z = S /\ j e. NN ) -> z = S )
109	108	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z = S /\ j e. NN ) -> ( ( D ` j ) <_ z <-> ( D ` j ) <_ S ) )
110	109, 108	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z = S /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) )
111	110	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = S /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) = ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) )
112	111	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = S /\ j e. NN ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) )
113	112	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = S -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) )
114	113	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = S -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) )
115	107, 114	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = S -> ( ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <-> ( S - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
116	115	elrab 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } <-> ( S e. ( A [,] B ) /\ ( S - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
117	106, 116	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S e. ( A [,] B ) /\ ( S - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
118	117	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) )
119	41, 81, 40, 118	leadd2dd 10642	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M - S ) + ( S - A ) ) <_ ( ( M - S ) + (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
120		difssd 3738	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( NN \ { K } ) C_ NN )
121	62, 44, 54, 81, 120	sge0ssrempt 40622	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. RR )
122		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( NN e. _V -> ( NN \ { K } ) e. _V )
123	43, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( NN \ { K } ) e. _V
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( NN \ { K } ) e. _V )
125	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) )
126		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ph )
127		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( NN \ { K } ) -> j e. NN )
128	127	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> j e. NN )
129	126, 128, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ( C ` j ) e. RR )
130	128, 85	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) e. RR* )
131	129, 130, 86	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) e. dom vol )
132	125, 131	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
133	62, 124, 132	sge0xrclmpt 40645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) e. RR* )
134	44, 88, 120	sge0lessmpt 40616	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) )
135	133, 91, 59, 134, 99	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) < +oo )
136	133, 59, 135	xrltned 39573	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) =/= +oo )
137	136	neneqd 2799	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) = +oo )
138	62, 124, 132	sge0repnfmpt 40656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) = +oo ) )
139	137, 138	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) e. RR )
140	9, 11	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M - ( C ` K ) ) e. RR )
141	128, 54	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
142	128, 53	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol )
143	128, 67	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ( C ` j ) e. RR* )
144	128, 68	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ( C ` j ) <_ ( C ` j ) )
145		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D ` j ) <_ S -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = ( D ` j ) )
146	145	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = ( D ` j ) )
147	48	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) <_ ( D ` j ) )
148	147	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> ( D ` j ) <_ ( D ` j ) )
149	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> ( D ` j ) e. RR )
150	83	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> M e. RR )
151	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> S e. RR )
152		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> ( D ` j ) <_ S )
153	20, 22	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S < ( D ` K ) /\ S < B ) )
154		ltmin 12025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( S e. RR /\ ( D ` K ) e. RR /\ B e. RR ) -> ( S < if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) <-> ( S < ( D ` K ) /\ S < B ) ) )
155	16, 7, 2, 154	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S < if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) <-> ( S < ( D ` K ) /\ S < B ) ) )
156	153, 155	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> S < if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) )
157	156, 29	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> S < M )
158	157	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> S < M )
159	149, 151, 150, 152, 158	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> ( D ` j ) < M )
160	149, 150, 159	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> ( D ` j ) <_ M )
161	148, 160	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> ( ( D ` j ) <_ ( D ` j ) /\ ( D ` j ) <_ M ) )
162		lemin 12023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D ` j ) e. RR /\ ( D ` j ) e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( D ` j ) <_ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) <-> ( ( D ` j ) <_ ( D ` j ) /\ ( D ` j ) <_ M ) ) )
163	149, 149, 150, 162	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> ( ( D ` j ) <_ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) <-> ( ( D ` j ) <_ ( D ` j ) /\ ( D ` j ) <_ M ) ) )
164	161, 163	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> ( D ` j ) <_ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) )
165	146, 164	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) )
166		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( D ` j ) <_ S -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = S )
167	166	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = S )
168	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> S e. RR )
169	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) e. RR )
170		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> -. ( D ` j ) <_ S )
171	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> ( D ` j ) e. RR )
172	168, 171	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> ( S < ( D ` j ) <-> -. ( D ` j ) <_ S ) )
173	170, 172	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> S < ( D ` j ) )
174	157	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> S < M )
175	173, 174	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> ( S < ( D ` j ) /\ S < M ) )
176	83	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> M e. RR )
177		ltmin 12025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S e. RR /\ ( D ` j ) e. RR /\ M e. RR ) -> ( S < if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) <-> ( S < ( D ` j ) /\ S < M ) ) )
178	168, 171, 176, 177	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> ( S < if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) <-> ( S < ( D ` j ) /\ S < M ) ) )
179	175, 178	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> S < if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) )
180	168, 169, 179	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> S <_ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) )
181	167, 180	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ -. ( D ` j ) <_ S ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) )
182	165, 181	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) )
183	128, 182	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) )
184		icossico 12243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C ` j ) e. RR* /\ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) e. RR* ) /\ ( ( C ` j ) <_ ( C ` j ) /\ if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) <_ if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) )
185	143, 130, 144, 183, 184	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) )
186		volss 23301	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) e. dom vol /\ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) C_ ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) )
187	142, 131, 185, 186	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { K } ) ) -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) <_ ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) )
188	62, 124, 141, 132, 187	sge0lempt 40627	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) )
189	121, 139, 140, 188	leadd2dd 10642	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) <_ ( ( M - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) ) )
190		difsnid 4341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. NN -> ( ( NN \ { K } ) u. { K } ) = NN )
191	6, 190	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( NN \ { K } ) u. { K } ) = NN )
192	191	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> NN = ( ( NN \ { K } ) u. { K } ) )
193	192	mpteq1d 4738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) = ( j e. ( ( NN \ { K } ) u. { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) )
194	193	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. ( ( NN \ { K } ) u. { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) )
195		neldifsnd 4322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. K e. ( NN \ { K } ) )
196		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = K -> ( C ` j ) = ( C ` K ) )
197		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = K -> ( D ` j ) = ( D ` K ) )
198	197	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = K -> ( ( D ` j ) <_ S <-> ( D ` K ) <_ S ) )
199	198, 197	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = K -> if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) = if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) )
200	196, 199	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = K -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) = ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) )
201	200	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = K -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) )
202	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) )
203	7, 16	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) e. RR )
204	203	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) e. RR* )
205		icombl 23332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C ` K ) e. RR /\ if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) e. RR* ) -> ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) e. dom vol )
206	11, 204, 205	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) e. dom vol )
207	202, 206	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
208	62, 124, 6, 195, 141, 201, 207	sge0splitsn 40658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( ( NN \ { K } ) u. { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) +e ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) ) )
209		volicore 40795	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C ` K ) e. RR /\ if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) e. RR )
210	11, 203, 209	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) e. RR )
211		rexadd 12063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. RR /\ ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) e. RR ) -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) +e ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) ) )
212	121, 210, 211	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) +e ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) ) )
213		volico 40200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( C ` K ) e. RR /\ if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) = if ( ( C ` K ) < if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) , ( if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) - ( C ` K ) ) , 0 ) )
214	11, 203, 213	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) = if ( ( C ` K ) < if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) , ( if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) - ( C ` K ) ) , 0 ) )
215	16, 7	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( S < ( D ` K ) <-> -. ( D ` K ) <_ S ) )
216	20, 215	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> -. ( D ` K ) <_ S )
217	216	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) = S )
218	217	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( C ` K ) < if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) <-> ( C ` K ) < S ) )
219	218	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> if ( ( C ` K ) < if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) , ( if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) - ( C ` K ) ) , 0 ) = if ( ( C ` K ) < S , ( if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) - ( C ` K ) ) , 0 ) )
220	217	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) - ( C ` K ) ) = ( S - ( C ` K ) ) )
221	220	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( C ` K ) < S ) -> ( if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) - ( C ` K ) ) = ( S - ( C ` K ) ) )
222	217, 204	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> S e. RR* )
223	222	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> S e. RR* )
224	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> ( C ` K ) e. RR* )
225		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> -. ( C ` K ) < S )
226	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> S e. RR )
227	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> ( C ` K ) e. RR )
228	226, 227	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> ( S <_ ( C ` K ) <-> -. ( C ` K ) < S ) )
229	225, 228	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> S <_ ( C ` K ) )
230		icogelb 12225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C ` K ) e. RR* /\ ( D ` K ) e. RR* /\ S e. ( ( C ` K ) [,) ( D ` K ) ) ) -> ( C ` K ) <_ S )
231	18, 12, 15, 230	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( C ` K ) <_ S )
232	231	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> ( C ` K ) <_ S )
233	223, 224, 229, 232	xrletrid 11986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> S = ( C ` K ) )
234	233	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> ( S - ( C ` K ) ) = ( ( C ` K ) - ( C ` K ) ) )
235	227	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> ( C ` K ) e. CC )
236	235	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> ( ( C ` K ) - ( C ` K ) ) = 0 )
237	234, 236	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. ( C ` K ) < S ) -> 0 = ( S - ( C ` K ) ) )
238	221, 237	ifeqda 4121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> if ( ( C ` K ) < S , ( if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) - ( C ` K ) ) , 0 ) = ( S - ( C ` K ) ) )
239	214, 219, 238	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) = ( S - ( C ` K ) ) )
240	239	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + ( S - ( C ` K ) ) ) )
241	121	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) e. CC )
242	11	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( C ` K ) e. CC )
243	36, 242	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S - ( C ` K ) ) e. CC )
244	241, 243	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) + ( S - ( C ` K ) ) ) = ( ( S - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
245	212, 240, 244	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) +e ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ S , ( D ` K ) , S ) ) ) ) = ( ( S - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
246	194, 208, 245	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) = ( ( S - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
247	246	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M - S ) + (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) = ( ( M - S ) + ( ( S - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) ) )
248	40	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M - S ) e. CC )
249	248, 243, 241	addassd 10062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( M - S ) + ( S - ( C ` K ) ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) = ( ( M - S ) + ( ( S - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) ) )
250	249	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M - S ) + ( ( S - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( M - S ) + ( S - ( C ` K ) ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
251	35, 36, 242	npncand 10416	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( M - S ) + ( S - ( C ` K ) ) ) = ( M - ( C ` K ) ) )
252	251	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( M - S ) + ( S - ( C ` K ) ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) = ( ( M - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
253	247, 250, 252	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M - S ) + (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) = ( ( M - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) )
254	192	mpteq1d 4738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) = ( j e. ( ( NN \ { K } ) u. { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) )
255	254	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. ( ( NN \ { K } ) u. { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) )
256	197	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = K -> ( ( D ` j ) <_ M <-> ( D ` K ) <_ M ) )
257	256, 197	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = K -> if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) = if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) )
258	196, 257	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = K -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) = ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) )
259	258	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = K -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) )
260	7, 9	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) e. RR )
261	260	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) e. RR* )
262		icombl 23332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C ` K ) e. RR /\ if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) e. RR* ) -> ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) e. dom vol )
263	11, 261, 262	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) e. dom vol )
264	202, 263	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
265	62, 124, 6, 195, 132, 259, 264	sge0splitsn 40658	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( ( NN \ { K } ) u. { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) +e ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) ) )
266		volicore 40795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C ` K ) e. RR /\ if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) e. RR )
267	11, 260, 266	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) e. RR )
268		rexadd 12063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) e. RR /\ ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) e. RR ) -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) +e ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) + ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) ) )
269	139, 267, 268	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) +e ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) + ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) ) )
270		volico 40200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C ` K ) e. RR /\ if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) = if ( ( C ` K ) < if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) , ( if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) - ( C ` K ) ) , 0 ) )
271	11, 260, 270	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) = if ( ( C ` K ) < if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) , ( if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) - ( C ` K ) ) , 0 ) )
272	20, 157	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( S < ( D ` K ) /\ S < M ) )
273		ltmin 12025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S e. RR /\ ( D ` K ) e. RR /\ M e. RR ) -> ( S < if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) <-> ( S < ( D ` K ) /\ S < M ) ) )
274	16, 7, 9, 273	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( S < if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) <-> ( S < ( D ` K ) /\ S < M ) ) )
275	272, 274	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S < if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) )
276	11, 16, 260, 231, 275	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( C ` K ) < if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) )
277	276	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> if ( ( C ` K ) < if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) , ( if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) - ( C ` K ) ) , 0 ) = ( if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) - ( C ` K ) ) )
278		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( D ` K ) <_ M -> if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) = ( D ` K ) )
279	278	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( D ` K ) <_ M ) -> if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) = ( D ` K ) )
280	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( D ` K ) <_ M ) -> ( D ` K ) e. RR* )
281	9	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> M e. RR* )
282	281	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( D ` K ) <_ M ) -> M e. RR* )
283		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( D ` K ) <_ M ) -> ( D ` K ) <_ M )
284		min1 12020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( D ` K ) e. RR /\ B e. RR ) -> if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) <_ ( D ` K ) )
285	7, 2, 284	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ B , ( D ` K ) , B ) <_ ( D ` K ) )
286	4, 285	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> M <_ ( D ` K ) )
287	286	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( D ` K ) <_ M ) -> M <_ ( D ` K ) )
288	280, 282, 283, 287	xrletrid 11986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( D ` K ) <_ M ) -> ( D ` K ) = M )
289	279, 288	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( D ` K ) <_ M ) -> if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) = M )
290		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. ( D ` K ) <_ M ) -> -. ( D ` K ) <_ M )
291	290	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. ( D ` K ) <_ M ) -> if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) = M )
292	289, 291	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) = M )
293	292	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) - ( C ` K ) ) = ( M - ( C ` K ) ) )
294	271, 277, 293	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) = ( M - ( C ` K ) ) )
295	294	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) + ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) + ( M - ( C ` K ) ) ) )
296	139	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) e. CC )
297	35, 242	subcld 10392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M - ( C ` K ) ) e. CC )
298	296, 297	addcomd 10238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) + ( M - ( C ` K ) ) ) = ( ( M - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) ) )
299	269, 295, 298	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) +e ( vol ` ( ( C ` K ) [,) if ( ( D ` K ) <_ M , ( D ` K ) , M ) ) ) ) = ( ( M - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) ) )
300	255, 265, 299	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) = ( ( M - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) ) )
301	253, 300	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M - S ) + (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) <-> ( ( M - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) <_ ( ( M - ( C ` K ) ) + (Σ^ ` ( j e. ( NN \ { K } ) |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) ) ) )
302	189, 301	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M - S ) + (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ S , ( D ` j ) , S ) ) ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) )
303	42, 82, 103, 119, 302	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M - S ) + ( S - A ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) )
304	39, 303	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ph -> ( M - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) )
305	34, 304	jca 554	. . . 4 |- ( ph -> ( M e. ( A [,] B ) /\ ( M - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) ) )
306		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( z = M -> ( z - A ) = ( M - A ) )
307		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = M -> ( ( D ` j ) <_ z <-> ( D ` j ) <_ M ) )
308		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = M -> z = M )
309	307, 308	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . 10 |- ( z = M -> if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) = if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) )
310	309	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( z = M -> ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) = ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) )
311	310	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( z = M -> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) = ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) )
312	311	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( z = M -> ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) = ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) )
313	312	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( z = M -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) )
314	306, 313	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( z = M -> ( ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) <-> ( M - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) ) )
315	314	elrab 3363	. . . 4 |- ( M e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } <-> ( M e. ( A [,] B ) /\ ( M - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ M , ( D ` j ) , M ) ) ) ) ) ) )
316	305, 315	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> M e. { z e. ( A [,] B ) | ( z - A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( vol ` ( ( C ` j ) [,) if ( ( D ` j ) <_ z , ( D ` j ) , z ) ) ) ) ) } )
317	316, 105	syl6eleqr 2712	. 2 |- ( ph -> M e. U )
318	272	simprd 479	. 2 |- ( ph -> S < M )
319		breq2 4657	. . 3 |- ( u = M -> ( S < u <-> S < M ) )
320	319	rspcev 3309	. 2 |- ( ( M e. U /\ S < M ) -> E. u e. U S < u )
321	317, 318, 320	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. u e. U S < u )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   +ecxad 11944   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  hoidmv1lelem3  40807