Theorem iinhoiicclem 40887

Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinhoiicclem.k	|- F/ k ph
iinhoiicclem.a	|- ( ( ph /\ k e. X ) -> A e. RR )
iinhoiicclem.b	|- ( ( ph /\ k e. X ) -> B e. RR )
iinhoiicclem.f	|- ( ph -> F e. |^|_ n e. NN X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iinhoiicclem	|- ( ph -> F e. X_ k e. X ( A [,] B ) )

Distinct variable groups:   A, n   B, n   k, F, n   k, X, n   ph, n

Allowed substitution hints:   ph( k)   A( k)   B( k)

Proof of Theorem iinhoiicclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinhoiicclem.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. |^|_ n e. NN X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )
2	1	elexd 3214	. . 3 |- ( ph -> F e. _V )
3		1nn 11031	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. NN )
5		iinhoiicclem.k	. . . . . . . . 9 |- F/ k ph
6		iinhoiicclem.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> A e. RR )
7		iinhoiicclem.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> B e. RR )
8		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> ( B + 1 ) e. RR )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B + 1 ) e. RR )
10	9	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B + 1 ) e. RR* )
11		icossre 12254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR* ) -> ( A [,) ( B + 1 ) ) C_ RR )
12	6, 10, 11	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A [,) ( B + 1 ) ) C_ RR )
13	5, 12	ixpssixp 39269	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) C_ X_ k e. X RR )
14		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 1 -> ( 1 / n ) = ( 1 / 1 ) )
15		1div1e1 10717	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 1 ) = 1
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 1 -> ( 1 / 1 ) = 1 )
17	14, 16	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( 1 / n ) = 1 )
18	17	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( B + ( 1 / n ) ) = ( B + 1 ) )
19	18	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) = ( A [,) ( B + 1 ) ) )
20	19	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) = X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) )
21	20	sseq1d 3632	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ X_ k e. X RR <-> X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) C_ X_ k e. X RR ) )
22	21	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. NN /\ X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) C_ X_ k e. X RR ) -> E. n e. NN X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ X_ k e. X RR )
23	4, 13, 22	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. n e. NN X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ X_ k e. X RR )
24		iinss 4571	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ X_ k e. X RR -> |^|_ n e. NN X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ X_ k e. X RR )
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> |^|_ n e. NN X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ X_ k e. X RR )
26	25, 1	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ph -> F e. X_ k e. X RR )
27		elixpconstg 39266	. . . . . 6 |- ( F e. |^|_ n e. NN X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) -> ( F e. X_ k e. X RR <-> F : X --> RR ) )
28	1, 27	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( F e. X_ k e. X RR <-> F : X --> RR ) )
29	26, 28	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> F : X --> RR )
30	29	ffnd 6046	. . 3 |- ( ph -> F Fn X )
31	29	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( F ` k ) e. RR )
32	6	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> A e. RR* )
33		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . 13 |- X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) C_ X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) )
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) C_ X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) )
35	20	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) <-> X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) C_ X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) ) )
36	35	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. NN /\ X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) C_ X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) ) -> E. n e. NN X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) )
37	4, 34, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. n e. NN X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) )
38		iinss 4571	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. n e. NN X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) -> |^|_ n e. NN X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> |^|_ n e. NN X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) C_ X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) )
40	39, 1	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) )
41	40	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> F e. X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) )
42		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> k e. X )
43		fvixp2 39389	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. X_ k e. X ( A [,) ( B + 1 ) ) /\ k e. X ) -> ( F ` k ) e. ( A [,) ( B + 1 ) ) )
44	41, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( F ` k ) e. ( A [,) ( B + 1 ) ) )
45		icogelb 12225	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ ( B + 1 ) e. RR* /\ ( F ` k ) e. ( A [,) ( B + 1 ) ) ) -> A <_ ( F ` k ) )
46	32, 10, 44, 45	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> A <_ ( F ` k ) )
47	31	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ n e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
48	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ n e. NN ) -> B e. RR )
49		nnrecre 11057	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR )
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR )
51	48, 50	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ n e. NN ) -> ( B + ( 1 / n ) ) e. RR )
52	32	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ n e. NN ) -> A e. RR* )
53		ressxr 10083	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ RR*
54	53, 51	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ n e. NN ) -> ( B + ( 1 / n ) ) e. RR* )
55		eliin 4525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. _V -> ( F e. |^|_ n e. NN X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) <-> A. n e. NN F e. X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) )
56	2, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F e. |^|_ n e. NN X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) <-> A. n e. NN F e. X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) )
57	1, 56	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. n e. NN F e. X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )
58	57	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F e. X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )
59		elixp2 7912	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. X_ k e. X ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) <-> ( F e. _V /\ F Fn X /\ A. k e. X ( F ` k ) e. ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) )
60	58, 59	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F e. _V /\ F Fn X /\ A. k e. X ( F ` k ) e. ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) )
61	60	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. k e. X ( F ` k ) e. ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )
62	61	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( F ` k ) e. ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )
63	62	an32s 846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ n e. NN ) -> ( F ` k ) e. ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) )
64		icoltub 39732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ ( B + ( 1 / n ) ) e. RR* /\ ( F ` k ) e. ( A [,) ( B + ( 1 / n ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( B + ( 1 / n ) ) )
65	52, 54, 63, 64	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ n e. NN ) -> ( F ` k ) < ( B + ( 1 / n ) ) )
66	47, 51, 65	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ n e. NN ) -> ( F ` k ) <_ ( B + ( 1 / n ) ) )
67	66	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> A. n e. NN ( F ` k ) <_ ( B + ( 1 / n ) ) )
68		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ n ( ph /\ k e. X )
69	53, 31	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( F ` k ) e. RR* )
70	68, 69, 7	xrralrecnnle 39602	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( F ` k ) <_ B <-> A. n e. NN ( F ` k ) <_ ( B + ( 1 / n ) ) ) )
71	67, 70	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( F ` k ) <_ B )
72	6, 7, 31, 46, 71	eliccd 39726	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( F ` k ) e. ( A [,] B ) )
73	72	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. X -> ( F ` k ) e. ( A [,] B ) ) )
74	5, 73	ralrimi 2957	. . 3 |- ( ph -> A. k e. X ( F ` k ) e. ( A [,] B ) )
75	2, 30, 74	3jca 1242	. 2 |- ( ph -> ( F e. _V /\ F Fn X /\ A. k e. X ( F ` k ) e. ( A [,] B ) ) )
76		elixp2 7912	. 2 |- ( F e. X_ k e. X ( A [,] B ) <-> ( F e. _V /\ F Fn X /\ A. k e. X ( F ` k ) e. ( A [,] B ) ) )
77	75, 76	sylibr 224	1 |- ( ph -> F e. X_ k e. X ( A [,] B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   [,)cico 12177   [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  iinhoiicc  40888