Theorem xralrple2 39570

Description: Show that A is less than B by showing that there is no positive bound on the difference. A variant on xralrple 12036. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xralrple2.x	|- F/ x ph
xralrple2.a	|- ( ph -> A e. RR* )
xralrple2.b	|- ( ph -> B e. ( 0 [,) +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
xralrple2	|- ( ph -> ( A <_ B <-> A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem xralrple2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xralrple2.x	. . . . 5 |- F/ x ph
2		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ x A <_ B
3	1, 2	nfan 1828	. . . 4 |- F/ x ( ph /\ A <_ B )
4		xralrple2.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR* )
5	4	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> A e. RR* )
6		icossxr 12258	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
7		xralrple2.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
8	7	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
9	6, 8	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> B e. RR* )
10		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 1 e. RR )
11		rpre 11839	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
13	10, 12	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 + x ) e. RR )
14		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
15	14, 7	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> B e. RR )
17	13, 16	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 1 + x ) x. B ) e. RR )
18	17	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 1 + x ) x. B ) e. RR* )
19	18	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( 1 + x ) x. B ) e. RR* )
20		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> A <_ B )
21	15	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> B e. RR )
22		1red 10055	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> 1 e. RR )
23	22, 11	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> ( 1 + x ) e. RR )
24	23	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> ( 1 + x ) e. RR )
25		0xr 10086	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 e. RR* )
27		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . 11 |- +oo e. RR*
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) -> +oo e. RR* )
29		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
30		icogelb 12225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> 0 <_ B )
31	26, 28, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ B )
32	7, 31	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ B )
33	32	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ B )
34		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> x e. RR+ )
35	22, 34	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> 1 < ( 1 + x ) )
36	22, 23, 35	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> 1 <_ ( 1 + x ) )
37	36	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> 1 <_ ( 1 + x ) )
38	21, 24, 33, 37	lemulge12d 10962	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> B <_ ( ( 1 + x ) x. B ) )
39	5, 9, 19, 20, 38	xrletrd 11993	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) )
40	39	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( x e. RR+ -> A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) )
41	3, 40	ralrimi 2957	. . 3 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) )
42	41	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B -> A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) )
43	4	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B = 0 ) -> A e. RR* )
44		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = 0 -> B = 0 )
45		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = 0 -> 0 e. RR )
46	44, 45	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = 0 -> B e. RR )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> B e. RR )
48		rpre 11839	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> y e. RR )
50	47, 49	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> ( B + y ) e. RR )
51	50	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> ( B + y ) e. RR* )
52	51	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B = 0 ) -> ( B + y ) e. RR* )
53	25	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B = 0 ) -> 0 e. RR* )
54		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR+
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) -> 1 e. RR+ )
56		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) -> A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) )
57		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 1 -> ( 1 + x ) = ( 1 + 1 ) )
58	57	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 1 -> ( ( 1 + x ) x. B ) = ( ( 1 + 1 ) x. B ) )
59	58	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 1 -> ( A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) <-> A <_ ( ( 1 + 1 ) x. B ) ) )
60	59	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. RR+ /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) -> A <_ ( ( 1 + 1 ) x. B ) )
61	55, 56, 60	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) -> A <_ ( ( 1 + 1 ) x. B ) )
62		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 + 1 ) = 2
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) -> ( 1 + 1 ) = 2 )
64	63	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) -> ( ( 1 + 1 ) x. B ) = ( 2 x. B ) )
65	61, 64	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) -> A <_ ( 2 x. B ) )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) /\ B = 0 ) -> A <_ ( 2 x. B ) )
67		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) /\ B = 0 ) -> B = 0 )
68		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <_ ( 2 x. B ) /\ B = 0 ) -> A <_ ( 2 x. B ) )
69		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B = 0 -> ( 2 x. B ) = ( 2 x. 0 ) )
70		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B = 0 -> 2 e. CC )
71	70	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B = 0 -> ( 2 x. 0 ) = 0 )
72	69, 71	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = 0 -> ( 2 x. B ) = 0 )
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <_ ( 2 x. B ) /\ B = 0 ) -> ( 2 x. B ) = 0 )
74	68, 73	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <_ ( 2 x. B ) /\ B = 0 ) -> A <_ 0 )
75	66, 67, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) /\ B = 0 ) -> A <_ 0 )
76	75	ad4ant24 1298	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B = 0 ) -> A <_ 0 )
77		rpgt0 11844	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR+ -> 0 < y )
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> 0 < y )
79		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = 0 -> ( B + y ) = ( 0 + y ) )
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> ( B + y ) = ( 0 + y ) )
81	48	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR+ -> y e. CC )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> y e. CC )
83	82	addid2d 10237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> ( 0 + y ) = y )
84	80, 83	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> y = ( B + y ) )
85	78, 84	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> 0 < ( B + y ) )
86	85	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B = 0 ) -> 0 < ( B + y ) )
87	43, 53, 52, 76, 86	xrlelttrd 11991	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B = 0 ) -> A < ( B + y ) )
88	43, 52, 87	xrltled 39486	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B = 0 ) -> A <_ ( B + y ) )
89		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ -. B = 0 ) -> ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) )
90	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. B = 0 ) -> B e. RR )
91		0red 10041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. B = 0 ) -> 0 e. RR )
92	32	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. B = 0 ) -> 0 <_ B )
93	44	necon3bi 2820	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. B = 0 -> B =/= 0 )
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. B = 0 ) -> B =/= 0 )
95	91, 90, 92, 94	leneltd 10191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. B = 0 ) -> 0 < B )
96	90, 95	elrpd 11869	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. B = 0 ) -> B e. RR+ )
97	96	ad4ant14 1293	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ -. B = 0 ) -> B e. RR+ )
98		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) /\ y e. RR+ ) /\ B e. RR+ ) -> y e. RR+ )
99		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) /\ y e. RR+ ) /\ B e. RR+ ) -> B e. RR+ )
100	98, 99	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) /\ y e. RR+ ) /\ B e. RR+ ) -> ( y / B ) e. RR+ )
101		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) /\ y e. RR+ ) /\ B e. RR+ ) -> A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) )
102		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( y / B ) -> ( 1 + x ) = ( 1 + ( y / B ) ) )
103	102	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y / B ) -> ( ( 1 + x ) x. B ) = ( ( 1 + ( y / B ) ) x. B ) )
104	103	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y / B ) -> ( A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) <-> A <_ ( ( 1 + ( y / B ) ) x. B ) ) )
105	104	rspcva 3307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y / B ) e. RR+ /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) -> A <_ ( ( 1 + ( y / B ) ) x. B ) )
106	100, 101, 105	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) /\ y e. RR+ ) /\ B e. RR+ ) -> A <_ ( ( 1 + ( y / B ) ) x. B ) )
107	106	adantlll 754	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B e. RR+ ) -> A <_ ( ( 1 + ( y / B ) ) x. B ) )
108		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> 1 e. CC )
109	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> y e. CC )
110		rpcn 11841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR+ -> B e. CC )
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> B e. CC )
112		rpne0 11848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR+ -> B =/= 0 )
113	112	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> B =/= 0 )
114	109, 111, 113	divcld 10801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( y / B ) e. CC )
115	108, 114, 111	adddird 10065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( ( 1 + ( y / B ) ) x. B ) = ( ( 1 x. B ) + ( ( y / B ) x. B ) ) )
116	111	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( 1 x. B ) = B )
117	109, 111, 113	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( ( y / B ) x. B ) = y )
118	116, 117	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( ( 1 x. B ) + ( ( y / B ) x. B ) ) = ( B + y ) )
119		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( B + y ) = ( B + y ) )
120	115, 118, 119	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( ( 1 + ( y / B ) ) x. B ) = ( B + y ) )
121	120	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B e. RR+ ) -> ( ( 1 + ( y / B ) ) x. B ) = ( B + y ) )
122	107, 121	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B e. RR+ ) -> A <_ ( B + y ) )
123	89, 97, 122	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ -. B = 0 ) -> A <_ ( B + y ) )
124	88, 123	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) -> A <_ ( B + y ) )
125	124	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) -> A. y e. RR+ A <_ ( B + y ) )
126		xralrple 12036	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A. y e. RR+ A <_ ( B + y ) ) )
127	4, 15, 126	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( A <_ B <-> A. y e. RR+ A <_ ( B + y ) ) )
128	127	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) -> ( A <_ B <-> A. y e. RR+ A <_ ( B + y ) ) )
129	125, 128	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) -> A <_ B )
130	129	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) -> A <_ B ) )
131	42, 130	impbid 202	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   [,)cico 12177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ico 12181

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem5  40813