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Theorem infpssrlem4 9128

Description: Lemma for infpssr 9130. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
infpssrlem.a
infpssrlem.c
infpssrlem.d	$\$
infpssrlem.e

**Assertion**
Ref	Expression
infpssrlem4	$/\$ $/\$

Proof of Theorem infpssrlem4 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . . 8
2	1	neeq1d 2853	. . . . . . 7
3	2	raleqbi1dv 3146	. . . . . 6
4	3	imbi2d 330	. . . . 5
5		fveq2 6191	. . . . . . . 8
6	5	neeq1d 2853	. . . . . . 7
7	6	raleqbi1dv 3146	. . . . . 6
8	7	imbi2d 330	. . . . 5
9		fveq2 6191	. . . . . . . 8
10	9	neeq1d 2853	. . . . . . 7
11	10	raleqbi1dv 3146	. . . . . 6
12	11	imbi2d 330	. . . . 5
13		fveq2 6191	. . . . . . . 8
14	13	neeq1d 2853	. . . . . . 7
15	14	raleqbi1dv 3146	. . . . . 6
16	15	imbi2d 330	. . . . 5
17		ral0 4076	. . . . . 6
18	17	a1i 11	. . . . 5
19		infpssrlem.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
20		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
24		infpssrlem.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25		infpssrlem.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
26		infpssrlem.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
27	24, 19, 25, 26	infpssrlem3 9127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28	27	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
29	28	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
30	23, 29	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
31	25	eldifbd 3587	. . . . . . . . . . . . . . . 16
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
33		nelne2 2891	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
34	30, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
35	24, 19, 25, 26	infpssrlem2 9126	. . . . . . . . . . . . . . 15
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
37	24, 19, 25, 26	infpssrlem1 9125	. . . . . . . . . . . . . . 15
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
39	34, 36, 38	3netr4d 2871	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
40	39	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
41	1	neeq2d 2854	. . . . . . . . . . . 12
42	40, 41	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
43	42	adantrd 484	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
44		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
45		peano2 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
47		elnn 7075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
48	44, 46, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
49	48	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		nnsuc 7082	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	50, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	54, 55, 56	nf3an 1831	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
58		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15
59	57, 58	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
60		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14
61		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
63		nnord 7073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
65		ordsucelsuc 7022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
67	62, 66	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
68	67	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
69	68	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
71	61, 69, 70	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
73	19, 20, 72	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
74	73	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
75	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
76	27	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
77	76	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
78		f1fveq 6519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
79	74, 75, 77, 78	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
80	79	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
81	80	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
82	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
83	24, 19, 25, 26	infpssrlem2 9126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
85	82, 84	neeq12d 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
86	85	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
87	81, 86	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
88	87	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
89	88	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	71, 89	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	90	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
92		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
93	92	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
95	94	neeq2d 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96	95	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
97	93, 96	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	91, 97	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
99	98	com3l 89	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
100	59, 60, 99	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
101	100	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	53, 101	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	102	ex 450	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
104	43, 103	pm2.61ine 2877	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
105	104	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
106		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
107	106	neeq2d 2854	. . . . . . . . 9
108	107	cbvralv 3171	. . . . . . . 8
109	105, 108	sylib 208	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
110	109	3exp 1264	. . . . . 6
111	110	a2d 29	. . . . 5
112	4, 8, 12, 16, 18, 111	finds 7092	. . . 4
113	112	impcom 446	. . 3 $/\$
114		fveq2 6191	. . . . 5
115	114	neeq2d 2854	. . . 4
116	115	rspccv 3306	. . 3
117	113, 116	syl 17	. 2 $/\$
118	117	3impia 1261	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913 $\$ cdif 3571

wss 3574

c0 3915

ccnv 5113

cres 5116

word 5722

csuc 5725

wf 5884

wf1 5885

wf1o 5887

cfv 5888

com 7065

crdg 7505

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-om 7066 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506

This theorem is referenced by: infpssrlem5 9129

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