Theorem infxrunb3rnmpt 39655

Description: The infimum of an unbounded-below set of extended reals is minus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrunb3rnmpt.1	|- F/ x ph
infxrunb3rnmpt.2	|- F/ y ph
infxrunb3rnmpt.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR* )

Assertion

Ref	Expression
infxrunb3rnmpt	|- ( ph -> ( A. y e. RR E. x e. A B <_ y <-> inf ( ran ( x e. A |-> B ) , RR* , < ) = -oo ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( x)

Proof of Theorem infxrunb3rnmpt

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxrunb3rnmpt.2	. . 3 |- F/ y ph
2		infxrunb3rnmpt.1	. . . . 5 |- F/ x ph
3		nfmpt1 4747	. . . . . . 7 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
4	3	nfrn 5368	. . . . . 6 |- F/_ x ran ( x e. A |-> B )
5		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ x z <_ y
6	4, 5	nfrex 3007	. . . . 5 |- F/ x E. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y
7		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
8		infxrunb3rnmpt.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR* )
9		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
10	9	elrnmpt1 5374	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ B e. RR* ) -> B e. ran ( x e. A |-> B ) )
11	7, 8, 10	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. ran ( x e. A |-> B ) )
12	11	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A /\ B <_ y ) -> B e. ran ( x e. A |-> B ) )
13		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A /\ B <_ y ) -> B <_ y )
14		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> ( z <_ y <-> B <_ y ) )
15	14	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ran ( x e. A |-> B ) /\ B <_ y ) -> E. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y )
16	12, 13, 15	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A /\ B <_ y ) -> E. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y )
17	16	3exp 1264	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A -> ( B <_ y -> E. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) ) )
18	2, 6, 17	rexlimd 3026	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. A B <_ y -> E. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) )
19		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ z E. x e. A B <_ y
20		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
21	9	elrnmpt 5372	. . . . . . . . 9 |- ( z e. _V -> ( z e. ran ( x e. A |-> B ) <-> E. x e. A z = B ) )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( z e. ran ( x e. A |-> B ) <-> E. x e. A z = B )
23	22	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( z e. ran ( x e. A |-> B ) -> E. x e. A z = B )
24	14	biimpcd 239	. . . . . . . . . 10 |- ( z <_ y -> ( z = B -> B <_ y ) )
25	24	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( z <_ y -> ( x e. A -> ( z = B -> B <_ y ) ) )
26	5, 25	reximdai 3012	. . . . . . . 8 |- ( z <_ y -> ( E. x e. A z = B -> E. x e. A B <_ y ) )
27	26	com12 32	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A z = B -> ( z <_ y -> E. x e. A B <_ y ) )
28	23, 27	syl 17	. . . . . 6 |- ( z e. ran ( x e. A |-> B ) -> ( z <_ y -> E. x e. A B <_ y ) )
29	19, 28	rexlimi 3024	. . . . 5 |- ( E. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y -> E. x e. A B <_ y )
30	29	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( E. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y -> E. x e. A B <_ y ) )
31	18, 30	impbid 202	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. A B <_ y <-> E. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) )
32	1, 31	ralbid 2983	. 2 |- ( ph -> ( A. y e. RR E. x e. A B <_ y <-> A. y e. RR E. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y ) )
33	2, 9, 8	rnmptssd 39385	. . 3 |- ( ph -> ran ( x e. A |-> B ) C_ RR* )
34		infxrunb3 39651	. . 3 |- ( ran ( x e. A |-> B ) C_ RR* -> ( A. y e. RR E. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y <-> inf ( ran ( x e. A |-> B ) , RR* , < ) = -oo ) )
35	33, 34	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A. y e. RR E. z e. ran ( x e. A |-> B ) z <_ y <-> inf ( ran ( x e. A |-> B ) , RR* , < ) = -oo ) )
36	32, 35	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( A. y e. RR E. x e. A B <_ y <-> inf ( ran ( x e. A |-> B ) , RR* , < ) = -oo ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115  infcinf 8347   RRcr 9935   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  limsupmnflem  39952