Theorem limsupmnflem 39952

Description: The superior limit of a function is -oo if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to an upper interval of real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupmnflem.a	|- ( ph -> A C_ RR )
limsupmnflem.f	|- ( ph -> F : A --> RR* )
limsupmnflem.g	|- G = ( k e. RR |-> sup ( ( F " ( k [,) +oo ) ) , RR* , < ) )

Assertion

Ref	Expression
limsupmnflem	|- ( ph -> ( ( limsup ` F ) = -oo <-> A. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )

Distinct variable groups:   A, j   j, F, k, x   ph, j, k, x

Allowed substitution hints:   A( x, k)   G( x, j, k)

Proof of Theorem limsupmnflem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ k ph
2		reex 10027	. . . . . . 7 |- RR e. _V
3	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR e. _V )
4		limsupmnflem.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
5	3, 4	ssexd 4805	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
6		limsupmnflem.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> RR* )
7		limsupmnflem.g	. . . . 5 |- G = ( k e. RR |-> sup ( ( F " ( k [,) +oo ) ) , RR* , < ) )
8	1, 5, 6, 7	limsupval3 39924	. . . 4 |- ( ph -> ( limsup ` F ) = inf ( ran G , RR* , < ) )
9	7	rneqi 5352	. . . . . 6 |- ran G = ran ( k e. RR |-> sup ( ( F " ( k [,) +oo ) ) , RR* , < ) )
10	9	infeq1i 8384	. . . . 5 |- inf ( ran G , RR* , < ) = inf ( ran ( k e. RR |-> sup ( ( F " ( k [,) +oo ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < )
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> inf ( ran G , RR* , < ) = inf ( ran ( k e. RR |-> sup ( ( F " ( k [,) +oo ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) )
12	8, 11	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( limsup ` F ) = inf ( ran ( k e. RR |-> sup ( ( F " ( k [,) +oo ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) )
13	12	eqeq1d 2624	. 2 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) = -oo <-> inf ( ran ( k e. RR |-> sup ( ( F " ( k [,) +oo ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) = -oo ) )
14		nfv 1843	. . 3 |- F/ x ph
15	6	fimassd 39432	. . . . 5 |- ( ph -> ( F " ( k [,) +oo ) ) C_ RR* )
16	15	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. RR ) -> ( F " ( k [,) +oo ) ) C_ RR* )
17	16	supxrcld 39290	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. RR ) -> sup ( ( F " ( k [,) +oo ) ) , RR* , < ) e. RR* )
18	1, 14, 17	infxrunb3rnmpt 39655	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR E. k e. RR sup ( ( F " ( k [,) +oo ) ) , RR* , < ) <_ x <-> inf ( ran ( k e. RR |-> sup ( ( F " ( k [,) +oo ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) = -oo ) )
19	15	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F " ( k [,) +oo ) ) C_ RR* )
20		ressxr 10083	. . . . . . . . 9 |- RR C_ RR*
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR C_ RR* )
22	21	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. RR* )
23		supxrleub 12156	. . . . . . 7 |- ( ( ( F " ( k [,) +oo ) ) C_ RR* /\ x e. RR* ) -> ( sup ( ( F " ( k [,) +oo ) ) , RR* , < ) <_ x <-> A. y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) y <_ x ) )
24	19, 22, 23	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( sup ( ( F " ( k [,) +oo ) ) , RR* , < ) <_ x <-> A. y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) y <_ x ) )
25	24	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) -> ( sup ( ( F " ( k [,) +oo ) ) , RR* , < ) <_ x <-> A. y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) y <_ x ) )
26	6	ffnd 6046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F Fn A )
27	26	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ j e. A ) /\ k <_ j ) -> F Fn A )
28		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ j e. A ) /\ k <_ j ) -> j e. A )
29	20	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. RR -> k e. RR* )
30	29	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ j e. A ) /\ k <_ j ) -> k e. RR* )
31		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- +oo e. RR*
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ j e. A ) /\ k <_ j ) -> +oo e. RR* )
33	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> RR C_ RR* )
34	4	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> j e. RR )
35	33, 34	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> j e. RR* )
36	35	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ j e. A ) /\ k <_ j ) -> j e. RR* )
37		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ j e. A ) /\ k <_ j ) -> k <_ j )
38	34	ltpnfd 11955	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> j < +oo )
39	38	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ j e. A ) /\ k <_ j ) -> j < +oo )
40	30, 32, 36, 37, 39	elicod 12224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ j e. A ) /\ k <_ j ) -> j e. ( k [,) +oo ) )
41	27, 28, 40	fnfvimad 39459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ j e. A ) /\ k <_ j ) -> ( F ` j ) e. ( F " ( k [,) +oo ) ) )
42	41	adantllr 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ A. y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) y <_ x ) /\ j e. A ) /\ k <_ j ) -> ( F ` j ) e. ( F " ( k [,) +oo ) ) )
43		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ A. y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) y <_ x ) /\ j e. A ) /\ k <_ j ) -> A. y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) y <_ x )
44		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` j ) -> ( y <_ x <-> ( F ` j ) <_ x ) )
45	44	rspcva 3307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` j ) e. ( F " ( k [,) +oo ) ) /\ A. y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) y <_ x ) -> ( F ` j ) <_ x )
46	42, 43, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ A. y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) y <_ x ) /\ j e. A ) /\ k <_ j ) -> ( F ` j ) <_ x )
47	46	adantl4r 787	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ A. y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) y <_ x ) /\ j e. A ) /\ k <_ j ) -> ( F ` j ) <_ x )
48	47	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ A. y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) y <_ x ) /\ j e. A ) -> ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
49	48	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ A. y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) y <_ x ) -> A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
50	49	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) -> ( A. y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) y <_ x -> A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
51		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j F
52	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) ) -> F Fn A )
53		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) ) -> y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) )
54	51, 52, 53	fvelimad 39458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) ) -> E. j e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ( F ` j ) = y )
55	54	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) ) -> E. j e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ( F ` j ) = y )
56		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j ( ph /\ k e. RR )
57		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x )
58	56, 57	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ j ( ( ph /\ k e. RR ) /\ A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
59		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ j y <_ x
60	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. RR /\ j e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> k e. RR* )
61	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. RR /\ j e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> +oo e. RR* )
62		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) -> j e. ( k [,) +oo ) )
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. RR /\ j e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> j e. ( k [,) +oo ) )
64	60, 61, 63	icogelbd 39785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. RR /\ j e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> k <_ j )
65	64	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k e. RR /\ A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> k <_ j )
66		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) -> j e. A )
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) /\ j e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> j e. A )
68		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) /\ j e. A ) -> ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
69	67, 68	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) /\ j e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
70	69	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k e. RR /\ A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
71	65, 70	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. RR /\ A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> ( F ` j ) <_ x )
72		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` j ) = y -> ( F ` j ) = y )
73	72	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F ` j ) = y -> y = ( F ` j ) )
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F ` j ) <_ x /\ ( F ` j ) = y ) -> y = ( F ` j ) )
75		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F ` j ) <_ x /\ ( F ` j ) = y ) -> ( F ` j ) <_ x )
76	74, 75	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` j ) <_ x /\ ( F ` j ) = y ) -> y <_ x )
77	76	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` j ) <_ x -> ( ( F ` j ) = y -> y <_ x ) )
78	71, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. RR /\ A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> ( ( F ` j ) = y -> y <_ x ) )
79	78	adantlll 754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ) -> ( ( F ` j ) = y -> y <_ x ) )
80	79	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> ( j e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) -> ( ( F ` j ) = y -> y <_ x ) ) )
81	58, 59, 80	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> ( E. j e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ( F ` j ) = y -> y <_ x ) )
82	81	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ E. j e. ( A i^i ( k [,) +oo ) ) ( F ` j ) = y ) -> y <_ x )
83	55, 82	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) ) -> y <_ x )
84	83	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. RR ) /\ A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> A. y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) y <_ x )
85	84	adantllr 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> A. y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) y <_ x )
86	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> ( sup ( ( F " ( k [,) +oo ) ) , RR* , < ) <_ x <-> A. y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) y <_ x ) )
87	85, 86	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> sup ( ( F " ( k [,) +oo ) ) , RR* , < ) <_ x )
88	87	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) -> ( A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) -> sup ( ( F " ( k [,) +oo ) ) , RR* , < ) <_ x ) )
89	88, 25	sylibd 229	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) -> ( A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) -> A. y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) y <_ x ) )
90	50, 89	impbid 202	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) -> ( A. y e. ( F " ( k [,) +oo ) ) y <_ x <-> A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
91	25, 90	bitrd 268	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) -> ( sup ( ( F " ( k [,) +oo ) ) , RR* , < ) <_ x <-> A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
92	91	rexbidva 3049	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. k e. RR sup ( ( F " ( k [,) +oo ) ) , RR* , < ) <_ x <-> E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
93	92	ralbidva 2985	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR E. k e. RR sup ( ( F " ( k [,) +oo ) ) , RR* , < ) <_ x <-> A. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
94	13, 18, 93	3bitr2d 296	1 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) = -oo <-> A. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346  infcinf 8347   RRcr 9935   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,)cico 12177   limsupclsp 14201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-ico 12181  df-limsup 14202

This theorem is referenced by:  limsupmnf  39953