Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbasisrelowllem2 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem isbasisrelowllem2 33204
Description: Lemma for isbasisrelowl 33206. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
isbasisrelowl.1 |- I = ( [,) " ( RR X. RR ) )
Assertion
Ref Expression
isbasisrelowllem2 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( x i^i y ) e. I )
Distinct variable groups:   z, a   z, b   c, d, x, z   y, c, d, z
Allowed substitution hints:   I( x, y, z, a, b, c, d)
Proof of Theorem isbasisrelowllem2
StepHypRef Expression
1 simplr1 1103 . . . . 5 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> c e. RR )
2 simplr2 1104 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> d e. RR )
3 nfv 1843 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ z a e. RR
4 nfv 1843 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ z b e. RR
5 nfrab1 3122 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ z { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) }
65nfeq2 2780 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ z x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) }
73, 4, 6nf3an 1831 . . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } )
8 nfv 1843 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ z c e. RR
9 nfv 1843 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ z d e. RR
10 nfrab1 3122 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ z { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) }
1110nfeq2 2780 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ z y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) }
128, 9, 11nf3an 1831 . . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } )
137, 12nfan 1828 . . . . . . . . . 10 |- F/ z ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) )
14 nfv 1843 . . . . . . . . . 10 |- F/ z ( a <_ c /\ d <_ b )
1513, 14nfan 1828 . . . . . . . . 9 |- F/ z ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) )
16 nfcv 2764 . . . . . . . . 9 |- F/_ z ( x i^i y )
17 simp3 1063 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) -> x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } )
18 simp3 1063 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) -> y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } )
19 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( x i^i y ) <-> ( z e. x /\ z e. y ) )
20 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } -> ( z e. x <-> z e. { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) )
21 rabid 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } <-> ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) )
2220, 21syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } -> ( z e. x <-> ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) ) )
2322anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } -> ( ( z e. x /\ z e. y ) <-> ( ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) /\ z e. y ) ) )
2419, 23syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } -> ( z e. ( x i^i y ) <-> ( ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) /\ z e. y ) ) )
25 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } -> ( z e. y <-> z e. { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) )
26 rabid 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } <-> ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) )
2725, 26syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } -> ( z e. y <-> ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) )
2827anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } -> ( ( ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) /\ z e. y ) <-> ( ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) /\ ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) ) )
2924, 28sylan9bb 736 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) -> ( z e. ( x i^i y ) <-> ( ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) /\ ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) ) )
30 an4 865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) /\ ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) <-> ( ( z e. RR /\ z e. RR ) /\ ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) )
31 anidm 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. RR /\ z e. RR ) <-> z e. RR )
3231anbi1i 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( z e. RR /\ z e. RR ) /\ ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) <-> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) )
3330, 32bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) /\ ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) <-> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) )
34 an4 865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) <-> ( ( a <_ z /\ c <_ z ) /\ ( z < d /\ z < b ) ) )
35 an42 866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) <-> ( ( a <_ z /\ c <_ z ) /\ ( z < d /\ z < b ) ) )
3635bicomi 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a <_ z /\ c <_ z ) /\ ( z < d /\ z < b ) ) <-> ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) )
3734, 36bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) <-> ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) )
3837bicomi 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) <-> ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) )
3938anbi2i 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) <-> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) )
4033, 39bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. RR /\ ( a <_ z /\ z < b ) ) /\ ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) <-> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) )
4129, 40syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) -> ( z e. ( x i^i y ) <-> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) ) )
4217, 18, 41syl2an 494 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) -> ( z e. ( x i^i y ) <-> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) ) )
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( z e. ( x i^i y ) <-> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) ) )
44 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) -> z e. RR )
45 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) -> c <_ z )
46 simprlr 803 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) -> z < d )
4744, 45, 46jca32 558 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) -> ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) )
4843, 47syl6bi 243 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( z e. ( x i^i y ) -> ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) )
49 3simpa 1058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) -> ( a e. RR /\ b e. RR ) )
50 3simpa 1058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) -> ( c e. RR /\ d e. RR ) )
5149, 50anim12i 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) -> ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) )
52 letr 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( a e. RR /\ c e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( a <_ c /\ c <_ z ) -> a <_ z ) )
53523expia 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( a e. RR /\ c e. RR ) -> ( z e. RR -> ( ( a <_ c /\ c <_ z ) -> a <_ z ) ) )
5453exp4a 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( a e. RR /\ c e. RR ) -> ( z e. RR -> ( a <_ c -> ( c <_ z -> a <_ z ) ) ) )
5554ad2ant2r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) -> ( z e. RR -> ( a <_ c -> ( c <_ z -> a <_ z ) ) ) )
56 ltletr 10129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( z e. RR /\ d e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( z < d /\ d <_ b ) -> z < b ) )
57563com13 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( b e. RR /\ d e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( z < d /\ d <_ b ) -> z < b ) )
5857expcomd 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( b e. RR /\ d e. RR /\ z e. RR ) -> ( d <_ b -> ( z < d -> z < b ) ) )
59583expia 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( b e. RR /\ d e. RR ) -> ( z e. RR -> ( d <_ b -> ( z < d -> z < b ) ) ) )
6059ad2ant2l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) -> ( z e. RR -> ( d <_ b -> ( z < d -> z < b ) ) ) )
6155, 60jcad 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) -> ( z e. RR -> ( ( a <_ c -> ( c <_ z -> a <_ z ) ) /\ ( d <_ b -> ( z < d -> z < b ) ) ) ) )
62 prth 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( a <_ c -> ( c <_ z -> a <_ z ) ) /\ ( d <_ b -> ( z < d -> z < b ) ) ) -> ( ( a <_ c /\ d <_ b ) -> ( ( c <_ z -> a <_ z ) /\ ( z < d -> z < b ) ) ) )
6361, 62syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) -> ( z e. RR -> ( ( a <_ c /\ d <_ b ) -> ( ( c <_ z -> a <_ z ) /\ ( z < d -> z < b ) ) ) ) )
6463com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) -> ( ( a <_ c /\ d <_ b ) -> ( z e. RR -> ( ( c <_ z -> a <_ z ) /\ ( z < d -> z < b ) ) ) ) )
65 prth 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( c <_ z -> a <_ z ) /\ ( z < d -> z < b ) ) -> ( ( c <_ z /\ z < d ) -> ( a <_ z /\ z < b ) ) )
6664, 65syl8 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) -> ( ( a <_ c /\ d <_ b ) -> ( z e. RR -> ( ( c <_ z /\ z < d ) -> ( a <_ z /\ z < b ) ) ) ) )
6766imp31 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ z e. RR ) -> ( ( c <_ z /\ z < d ) -> ( a <_ z /\ z < b ) ) )
6867ancrd 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ z e. RR ) -> ( ( c <_ z /\ z < d ) -> ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) )
69 an42 866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) <-> ( ( a <_ z /\ c <_ z ) /\ ( z < b /\ z < d ) ) )
70 an4 865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a <_ z /\ c <_ z ) /\ ( z < b /\ z < d ) ) <-> ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) )
7169, 70bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) <-> ( ( a <_ z /\ z < b ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) )
7268, 71syl6ibr 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ z e. RR ) -> ( ( c <_ z /\ z < d ) -> ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) )
73 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ z e. RR ) -> z e. RR )
7472, 73jctild 566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ z e. RR ) -> ( ( c <_ z /\ z < d ) -> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) ) )
7551, 74sylanl1 682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ z e. RR ) -> ( ( c <_ z /\ z < d ) -> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) ) )
7675imp 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ z e. RR ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) -> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) )
7776an32s 846 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) /\ z e. RR ) -> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) )
7843adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) -> ( z e. ( x i^i y ) <-> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) ) )
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) /\ z e. RR ) -> ( z e. ( x i^i y ) <-> ( z e. RR /\ ( ( a <_ z /\ z < d ) /\ ( c <_ z /\ z < b ) ) ) ) )
8077, 79mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) /\ z e. RR ) -> z e. ( x i^i y ) )
8180expl 648 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( ( ( c <_ z /\ z < d ) /\ z e. RR ) -> z e. ( x i^i y ) ) )
8281ancomsd 470 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) -> z e. ( x i^i y ) ) )
8348, 82impbid 202 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( z e. ( x i^i y ) <-> ( z e. RR /\ ( c <_ z /\ z < d ) ) ) )
8483, 26syl6bbr 278 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( z e. ( x i^i y ) <-> z e. { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) )
8515, 16, 10, 84eqrd 3622 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } )
862, 85jca 554 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( d e. RR /\ ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) )
87 19.8a 2052 . . . . . . 7 |- ( ( d e. RR /\ ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) -> E. d ( d e. RR /\ ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) )
8886, 87syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> E. d ( d e. RR /\ ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) )
89 df-rex 2918 . . . . . 6 |- ( E. d e. RR ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } <-> E. d ( d e. RR /\ ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) )
9088, 89sylibr 224 . . . . 5 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> E. d e. RR ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } )
911, 90jca 554 . . . 4 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( c e. RR /\ E. d e. RR ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) )
92 19.8a 2052 . . . 4 |- ( ( c e. RR /\ E. d e. RR ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) -> E. c ( c e. RR /\ E. d e. RR ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) )
9391, 92syl 17 . . 3 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> E. c ( c e. RR /\ E. d e. RR ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) )
94 df-rex 2918 . . 3 |- ( E. c e. RR E. d e. RR ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } <-> E. c ( c e. RR /\ E. d e. RR ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) )
9593, 94sylibr 224 . 2 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> E. c e. RR E. d e. RR ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } )
96 isbasisrelowl.1 . . 3 |- I = ( [,) " ( RR X. RR ) )
9796icoreelrnab 33202 . 2 |- ( ( x i^i y ) e. I <-> E. c e. RR E. d e. RR ( x i^i y ) = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } )
9895, 97sylibr 224 1 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ x = { z e. RR | ( a <_ z /\ z < b ) } ) /\ ( c e. RR /\ d e. RR /\ y = { z e. RR | ( c <_ z /\ z < d ) } ) ) /\ ( a <_ c /\ d <_ b ) ) -> ( x i^i y ) e. I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   i^i cin 3573   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   "cima 5117   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   [,)cico 12177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181
This theorem is referenced by:  icoreclin  33205
  Copyright terms: Public domain W3C validator