Theorem isfin4-2 9136

Description: Alternate definition of IV-finite sets: they lack a denumerable subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin4-2	|- ( A e. V -> ( A e. FinIV <-> -. om ~<_ A ) )

Proof of Theorem isfin4-2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin4 9119	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. FinIV <-> -. E. x ( x C. A /\ x ~~ A ) ) )
2		infpssr 9130	. . . . 5 |- ( ( x C. A /\ x ~~ A ) -> om ~<_ A )
3	2	exlimiv 1858	. . . 4 |- ( E. x ( x C. A /\ x ~~ A ) -> om ~<_ A )
4		infpss 9039	. . . 4 |- ( om ~<_ A -> E. x ( x C. A /\ x ~~ A ) )
5	3, 4	impbii 199	. . 3 |- ( E. x ( x C. A /\ x ~~ A ) <-> om ~<_ A )
6	5	notbii 310	. 2 |- ( -. E. x ( x C. A /\ x ~~ A ) <-> -. om ~<_ A )
7	1, 6	syl6bb 276	1 |- ( A e. V -> ( A e. FinIV <-> -. om ~<_ A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   C. wpss 3575   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953  Fin^IVcfin4 9102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fin4 9109

This theorem is referenced by:  isfin4-3  9137  fin23lem41  9174  isfin32i  9187  isfin1-2  9207  fin34  9212  fin41  9266  gchinf  9479