Theorem fin23lem41 9174

Description: Lemma for fin23 9211. A set which satisfies the descending sequence condition must be III-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin23lem40.f	|- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }

Assertion

Ref	Expression
fin23lem41	|- ( A e. F -> A e. FinIII )

Distinct variable groups:   g, a, x, A   F, a

Allowed substitution hints:   F( x, g)

Proof of Theorem fin23lem41

Dummy variables b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 7966	. . . . 5 |- ( om ~<_ ~P A -> E. b b : om -1-1-> ~P A )
2		fin23lem40.f	. . . . . . . . . 10 |- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }
3	2	fin23lem33 9167	. . . . . . . . 9 |- ( A e. F -> E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) )
4	3	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) -> E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) )
5		ssv 3625	. . . . . . . . . . 11 |- ~P A C_ _V
6		f1ss 6106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ ~P A C_ _V ) -> b : om -1-1-> _V )
7	5, 6	mpan2 707	. . . . . . . . . 10 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> b : om -1-1-> _V )
8	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> b : om -1-1-> _V )
9		f1f 6101	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> b : om --> ~P A )
10		frn 6053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b : om --> ~P A -> ran b C_ ~P A )
11		uniss 4458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran b C_ ~P A -> U. ran b C_ U. ~P A )
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> U. ran b C_ U. ~P A )
13		unipw 4918	. . . . . . . . . . 11 |- U. ~P A = A
14	12, 13	syl6sseq 3651	. . . . . . . . . 10 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> U. ran b C_ A )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> U. ran b C_ A )
16		f1eq1 6096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( d : om -1-1-> _V <-> e : om -1-1-> _V ) )
17		rneq 5351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = e -> ran d = ran e )
18	17	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = e -> U. ran d = U. ran e )
19	18	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( U. ran d C_ A <-> U. ran e C_ A ) )
20	16, 19	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = e -> ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) <-> ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) ) )
21		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = e -> ( c ` d ) = ( c ` e ) )
22		f1eq1 6096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c ` d ) = ( c ` e ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V <-> ( c ` e ) : om -1-1-> _V ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V <-> ( c ` e ) : om -1-1-> _V ) )
24	21	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = e -> ran ( c ` d ) = ran ( c ` e ) )
25	24	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = e -> U. ran ( c ` d ) = U. ran ( c ` e ) )
26	25, 18	psseq12d 3701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( U. ran ( c ` d ) C. U. ran d <-> U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) )
27	23, 26	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = e -> ( ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) <-> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
28	20, 27	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = e -> ( ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) <-> ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) ) )
29	28	cbvalv 2273	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) <-> A. e ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
30	29	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) -> A. e ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> A. e ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
32		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( rec ( c , b ) |` om ) = ( rec ( c , b ) |` om )
33	2, 8, 15, 31, 32	fin23lem39 9172	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> -. A e. F )
34	4, 33	exlimddv 1863	. . . . . . 7 |- ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) -> -. A e. F )
35	34	pm2.01da 458	. . . . . 6 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> -. A e. F )
36	35	exlimiv 1858	. . . . 5 |- ( E. b b : om -1-1-> ~P A -> -. A e. F )
37	1, 36	syl 17	. . . 4 |- ( om ~<_ ~P A -> -. A e. F )
38	37	con2i 134	. . 3 |- ( A e. F -> -. om ~<_ ~P A )
39		pwexg 4850	. . . 4 |- ( A e. F -> ~P A e. _V )
40		isfin4-2 9136	. . . 4 |- ( ~P A e. _V -> ( ~P A e. FinIV <-> -. om ~<_ ~P A ) )
41	39, 40	syl 17	. . 3 |- ( A e. F -> ( ~P A e. FinIV <-> -. om ~<_ ~P A ) )
42	38, 41	mpbird 247	. 2 |- ( A e. F -> ~P A e. FinIV )
43		isfin3 9118	. 2 |- ( A e. FinIII <-> ~P A e. FinIV )
44	42, 43	sylibr 224	1 |- ( A e. F -> A e. FinIII )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   C. wpss 3575   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   ran crn 5115   |` cres 5116   suc csuc 5725   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   reccrdg 7505   ^m cmap 7857   ~<_ cdom 7953  Fin^IVcfin4 9102  Fin^IIIcfin3 9103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-fin4 9109  df-fin3 9110

This theorem is referenced by:  isf33lem  9188