Theorem itunisuc 9241

Description: Successor iterated union. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ituni.u	|- U = ( x e. _V |-> ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , x ) |` om ) )

Assertion

Ref	Expression
itunisuc	|- ( ( U ` A ) ` suc B ) = U. ( ( U ` A ) ` B )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   U( x, y)

Proof of Theorem itunisuc

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frsuc 7532	. . . . . 6 |- ( B e. om -> ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` suc B ) = ( ( y e. _V |-> U. y ) ` ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` B ) ) )
2		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` B ) e. _V
3		unieq 4444	. . . . . . . 8 |- ( a = ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` B ) -> U. a = U. ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` B ) )
4		unieq 4444	. . . . . . . . 9 |- ( y = a -> U. y = U. a )
5	4	cbvmptv 4750	. . . . . . . 8 |- ( y e. _V |-> U. y ) = ( a e. _V |-> U. a )
6	2	uniex 6953	. . . . . . . 8 |- U. ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` B ) e. _V
7	3, 5, 6	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` B ) e. _V -> ( ( y e. _V |-> U. y ) ` ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` B ) ) = U. ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` B ) )
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( y e. _V |-> U. y ) ` ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` B ) ) = U. ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` B )
9	1, 8	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` suc B ) = U. ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` B ) )
10	9	adantl 482	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. om ) -> ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` suc B ) = U. ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` B ) )
11		ituni.u	. . . . . . 7 |- U = ( x e. _V |-> ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , x ) |` om ) )
12	11	itunifval 9238	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( U ` A ) = ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) )
13	12	fveq1d 6193	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( U ` A ) ` suc B ) = ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` suc B ) )
14	13	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. om ) -> ( ( U ` A ) ` suc B ) = ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` suc B ) )
15	12	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( ( U ` A ) ` B ) = ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` B ) )
16	15	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. om ) -> ( ( U ` A ) ` B ) = ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` B ) )
17	16	unieqd 4446	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. om ) -> U. ( ( U ` A ) ` B ) = U. ( ( rec ( ( y e. _V |-> U. y ) , A ) |` om ) ` B ) )
18	10, 14, 17	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. om ) -> ( ( U ` A ) ` suc B ) = U. ( ( U ` A ) ` B ) )
19		uni0 4465	. . . . 5 |- U. (/) = (/)
20	19	eqcomi 2631	. . . 4 |- (/) = U. (/)
21	11	itunifn 9239	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. _V -> ( U ` A ) Fn om )
22		fndm 5990	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U ` A ) Fn om -> dom ( U ` A ) = om )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> dom ( U ` A ) = om )
24	23	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( suc B e. dom ( U ` A ) <-> suc B e. om ) )
25		peano2b 7081	. . . . . . . 8 |- ( B e. om <-> suc B e. om )
26	24, 25	syl6bbr 278	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( suc B e. dom ( U ` A ) <-> B e. om ) )
27	26	notbid 308	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( -. suc B e. dom ( U ` A ) <-> -. B e. om ) )
28	27	biimpar 502	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ -. B e. om ) -> -. suc B e. dom ( U ` A ) )
29		ndmfv 6218	. . . . 5 |- ( -. suc B e. dom ( U ` A ) -> ( ( U ` A ) ` suc B ) = (/) )
30	28, 29	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ -. B e. om ) -> ( ( U ` A ) ` suc B ) = (/) )
31	23	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( B e. dom ( U ` A ) <-> B e. om ) )
32	31	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( -. B e. dom ( U ` A ) <-> -. B e. om ) )
33	32	biimpar 502	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ -. B e. om ) -> -. B e. dom ( U ` A ) )
34		ndmfv 6218	. . . . . 6 |- ( -. B e. dom ( U ` A ) -> ( ( U ` A ) ` B ) = (/) )
35	33, 34	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ -. B e. om ) -> ( ( U ` A ) ` B ) = (/) )
36	35	unieqd 4446	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ -. B e. om ) -> U. ( ( U ` A ) ` B ) = U. (/) )
37	20, 30, 36	3eqtr4a 2682	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ -. B e. om ) -> ( ( U ` A ) ` suc B ) = U. ( ( U ` A ) ` B ) )
38	18, 37	pm2.61dan 832	. 2 |- ( A e. _V -> ( ( U ` A ) ` suc B ) = U. ( ( U ` A ) ` B ) )
39		0fv 6227	. . . . 5 |- ( (/) ` B ) = (/)
40	39	unieqi 4445	. . . 4 |- U. ( (/) ` B ) = U. (/)
41		0fv 6227	. . . 4 |- ( (/) ` suc B ) = (/)
42	19, 40, 41	3eqtr4ri 2655	. . 3 |- ( (/) ` suc B ) = U. ( (/) ` B )
43		fvprc 6185	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( U ` A ) = (/) )
44	43	fveq1d 6193	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( ( U ` A ) ` suc B ) = ( (/) ` suc B ) )
45	43	fveq1d 6193	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( ( U ` A ) ` B ) = ( (/) ` B ) )
46	45	unieqd 4446	. . 3 |- ( -. A e. _V -> U. ( ( U ` A ) ` B ) = U. ( (/) ` B ) )
47	42, 44, 46	3eqtr4a 2682	. 2 |- ( -. A e. _V -> ( ( U ` A ) ` suc B ) = U. ( ( U ` A ) ` B ) )
48	38, 47	pm2.61i 176	1 |- ( ( U ` A ) ` suc B ) = U. ( ( U ` A ) ` B )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   omcom 7065   reccrdg 7505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506

This theorem is referenced by:  itunitc1  9242  itunitc  9243  ituniiun  9244