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Theorem ixpfi2 8264
Description: A Cartesian product of finite sets such that all but finitely many are singletons is finite. (Note that B ( x ) and D ( x ) are both possibly dependent on x.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ixpfi2.1 |- ( ph -> C e. Fin )
ixpfi2.2 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
ixpfi2.3 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> B C_ { D } )
Assertion
Ref Expression
ixpfi2 |- ( ph -> X_ x e. A B e. Fin )
Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x
Allowed substitution hints:   B( x)   D( x)
Proof of Theorem ixpfi2
Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixpfi2.1 . . . 4 |- ( ph -> C e. Fin )
2 inss2 3834 . . . 4 |- ( A i^i C ) C_ C
3 ssfi 8180 . . . 4 |- ( ( C e. Fin /\ ( A i^i C ) C_ C ) -> ( A i^i C ) e. Fin )
41, 2, 3sylancl 694 . . 3 |- ( ph -> ( A i^i C ) e. Fin )
5 inss1 3833 . . . 4 |- ( A i^i C ) C_ A
6 ixpfi2.2 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
76ralrimiva 2966 . . . 4 |- ( ph -> A. x e. A B e. Fin )
8 ssralv 3666 . . . 4 |- ( ( A i^i C ) C_ A -> ( A. x e. A B e. Fin -> A. x e. ( A i^i C ) B e. Fin ) )
95, 7, 8mpsyl 68 . . 3 |- ( ph -> A. x e. ( A i^i C ) B e. Fin )
10 ixpfi 8263 . . 3 |- ( ( ( A i^i C ) e. Fin /\ A. x e. ( A i^i C ) B e. Fin ) -> X_ x e. ( A i^i C ) B e. Fin )
114, 9, 10syl2anc 693 . 2 |- ( ph -> X_ x e. ( A i^i C ) B e. Fin )
12 resixp 7943 . . . . 5 |- ( ( ( A i^i C ) C_ A /\ f e. X_ x e. A B ) -> ( f |` ( A i^i C ) ) e. X_ x e. ( A i^i C ) B )
135, 12mpan 706 . . . 4 |- ( f e. X_ x e. A B -> ( f |` ( A i^i C ) ) e. X_ x e. ( A i^i C ) B )
1413a1i 11 . . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. A B -> ( f |` ( A i^i C ) ) e. X_ x e. ( A i^i C ) B ) )
15 simprl 794 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> f e. X_ x e. A B )
16 vex 3203 . . . . . . . . . . 11 |- f e. _V
1716elixp 7915 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. X_ x e. A B <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
1815, 17sylib 208 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
1918simprd 479 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> A. x e. A ( f ` x ) e. B )
20 simprr 796 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> g e. X_ x e. A B )
21 vex 3203 . . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
2221elixp 7915 . . . . . . . . . 10 |- ( g e. X_ x e. A B <-> ( g Fn A /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) )
2320, 22sylib 208 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( g Fn A /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) )
2423simprd 479 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> A. x e. A ( g ` x ) e. B )
25 r19.26 3064 . . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) <-> ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) )
26 difss 3737 . . . . . . . . . . 11 |- ( A \ C ) C_ A
27 ssralv 3666 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A \ C ) C_ A -> ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) )
29 ixpfi2.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> B C_ { D } )
3029sseld 3602 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( f ` x ) e. B -> ( f ` x ) e. { D } ) )
31 elsni 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` x ) e. { D } -> ( f ` x ) = D )
3230, 31syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( f ` x ) e. B -> ( f ` x ) = D ) )
3329sseld 3602 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( g ` x ) e. B -> ( g ` x ) e. { D } ) )
34 elsni 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g ` x ) e. { D } -> ( g ` x ) = D )
3533, 34syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( g ` x ) e. B -> ( g ` x ) = D ) )
3632, 35anim12d 586 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> ( ( f ` x ) = D /\ ( g ` x ) = D ) ) )
37 eqtr3 2643 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) = D /\ ( g ` x ) = D ) -> ( f ` x ) = ( g ` x ) )
3836, 37syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
3938ralimdva 2962 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
4039adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. ( A \ C ) ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
4128, 40syl5 34 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
4225, 41syl5bir 233 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( g ` x ) e. B ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
4319, 24, 42mp2and 715 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) )
4443biantrud 528 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) /\ A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) ) )
45 fvres 6207 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( A i^i C ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( f ` x ) )
46 fvres 6207 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( A i^i C ) -> ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( g ` x ) )
4745, 46eqeq12d 2637 . . . . . . 7 |- ( x e. ( A i^i C ) -> ( ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) <-> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
4847ralbiia 2979 . . . . . 6 |- ( A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) <-> A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) )
49 inundif 4046 . . . . . . . 8 |- ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) = A
5049raleqi 3142 . . . . . . 7 |- ( A. x e. ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) )
51 ralunb 3794 . . . . . . 7 |- ( A. x e. ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) /\ A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
5250, 51bitr3i 266 . . . . . 6 |- ( A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> ( A. x e. ( A i^i C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) /\ A. x e. ( A \ C ) ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
5344, 48, 523bitr4g 303 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
5418simpld 475 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> f Fn A )
55 fnssres 6004 . . . . . . 7 |- ( ( f Fn A /\ ( A i^i C ) C_ A ) -> ( f |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
5654, 5, 55sylancl 694 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( f |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
5723simpld 475 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> g Fn A )
58 fnssres 6004 . . . . . . 7 |- ( ( g Fn A /\ ( A i^i C ) C_ A ) -> ( g |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
5957, 5, 58sylancl 694 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( g |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) )
60 eqfnfv 6311 . . . . . 6 |- ( ( ( f |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) /\ ( g |` ( A i^i C ) ) Fn ( A i^i C ) ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) ) )
6156, 59, 60syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> A. x e. ( A i^i C ) ( ( f |` ( A i^i C ) ) ` x ) = ( ( g |` ( A i^i C ) ) ` x ) ) )
62 eqfnfv 6311 . . . . . 6 |- ( ( f Fn A /\ g Fn A ) -> ( f = g <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
6354, 57, 62syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( f = g <-> A. x e. A ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
6453, 61, 633bitr4d 300 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> f = g ) )
6564ex 450 . . 3 |- ( ph -> ( ( f e. X_ x e. A B /\ g e. X_ x e. A B ) -> ( ( f |` ( A i^i C ) ) = ( g |` ( A i^i C ) ) <-> f = g ) ) )
6614, 65dom2lem 7995 . 2 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. A B |-> ( f |` ( A i^i C ) ) ) : X_ x e. A B -1-1-> X_ x e. ( A i^i C ) B )
67 f1fi 8253 . 2 |- ( ( X_ x e. ( A i^i C ) B e. Fin /\ ( f e. X_ x e. A B |-> ( f |` ( A i^i C ) ) ) : X_ x e. A B -1-1-> X_ x e. ( A i^i C ) B ) -> X_ x e. A B e. Fin )
6811, 66, 67syl2anc 693 1 |- ( ph -> X_ x e. A B e. Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888   X_cixp 7908   Fincfn 7955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959
This theorem is referenced by:  psrbaglefi  19372  eulerpartlemb  30430
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