Theorem psrbaglefi 19372

Description: There are finitely many bags dominated by a given bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbaglefi	|- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin )

Distinct variable groups:   y, f, F   y, V   f, I, y   y, D

Allowed substitution hints:   D( f)   V( f)

Proof of Theorem psrbaglefi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2921	. . 3 |- { y e. D | y oR <_ F } = { y | ( y e. D /\ y oR <_ F ) }
2		psrbag.d	. . . . . . . . 9 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
3	2	psrbag 19364	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> ( y e. D <-> ( y : I --> NN0 /\ ( `' y " NN ) e. Fin ) ) )
4	3	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> ( y e. D <-> ( y : I --> NN0 /\ ( `' y " NN ) e. Fin ) ) )
5		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( y : I --> NN0 /\ ( `' y " NN ) e. Fin ) -> y : I --> NN0 )
6	4, 5	syl6bi 243	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> ( y e. D -> y : I --> NN0 ) )
7	6	adantrd 484	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> ( ( y e. D /\ y oR <_ F ) -> y : I --> NN0 ) )
8		ss2ixp 7921	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. I ( 0 ... ( F ` x ) ) C_ NN0 -> X_ x e. I ( 0 ... ( F ` x ) ) C_ X_ x e. I NN0 )
9		fz0ssnn0 12435	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... ( F ` x ) ) C_ NN0
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( x e. I -> ( 0 ... ( F ` x ) ) C_ NN0 )
11	8, 10	mprg 2926	. . . . . . . 8 |- X_ x e. I ( 0 ... ( F ` x ) ) C_ X_ x e. I NN0
12	11	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( y e. X_ x e. I ( 0 ... ( F ` x ) ) -> y e. X_ x e. I NN0 )
13		vex 3203	. . . . . . . 8 |- y e. _V
14	13	elixpconst 7916	. . . . . . 7 |- ( y e. X_ x e. I NN0 <-> y : I --> NN0 )
15	12, 14	sylib 208	. . . . . 6 |- ( y e. X_ x e. I ( 0 ... ( F ` x ) ) -> y : I --> NN0 )
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> ( y e. X_ x e. I ( 0 ... ( F ` x ) ) -> y : I --> NN0 ) )
17		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( y : I --> NN0 -> y Fn I )
18	17	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ y : I --> NN0 ) -> y Fn I )
19	13	elixp 7915	. . . . . . . . 9 |- ( y e. X_ x e. I ( 0 ... ( F ` x ) ) <-> ( y Fn I /\ A. x e. I ( y ` x ) e. ( 0 ... ( F ` x ) ) ) )
20	19	baib 944	. . . . . . . 8 |- ( y Fn I -> ( y e. X_ x e. I ( 0 ... ( F ` x ) ) <-> A. x e. I ( y ` x ) e. ( 0 ... ( F ` x ) ) ) )
21	18, 20	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ y : I --> NN0 ) -> ( y e. X_ x e. I ( 0 ... ( F ` x ) ) <-> A. x e. I ( y ` x ) e. ( 0 ... ( F ` x ) ) ) )
22		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y : I --> NN0 /\ x e. I ) -> ( y ` x ) e. NN0 )
23	22	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ y : I --> NN0 ) /\ x e. I ) -> ( y ` x ) e. NN0 )
24		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
25	23, 24	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ y : I --> NN0 ) /\ x e. I ) -> ( y ` x ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
26	2	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> F : I --> NN0 )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ y : I --> NN0 ) -> F : I --> NN0 )
28	27	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ y : I --> NN0 ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. NN0 )
29	28	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ y : I --> NN0 ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. ZZ )
30		elfz5 12334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y ` x ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( F ` x ) e. ZZ ) -> ( ( y ` x ) e. ( 0 ... ( F ` x ) ) <-> ( y ` x ) <_ ( F ` x ) ) )
31	25, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ y : I --> NN0 ) /\ x e. I ) -> ( ( y ` x ) e. ( 0 ... ( F ` x ) ) <-> ( y ` x ) <_ ( F ` x ) ) )
32	31	ralbidva 2985	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ y : I --> NN0 ) -> ( A. x e. I ( y ` x ) e. ( 0 ... ( F ` x ) ) <-> A. x e. I ( y ` x ) <_ ( F ` x ) ) )
33	27	ffnd 6046	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ y : I --> NN0 ) -> F Fn I )
34		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ y : I --> NN0 ) -> I e. V )
35		inidm 3822	. . . . . . . . 9 |- ( I i^i I ) = I
36		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ y : I --> NN0 ) /\ x e. I ) -> ( y ` x ) = ( y ` x ) )
37		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ y : I --> NN0 ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) = ( F ` x ) )
38	18, 33, 34, 34, 35, 36, 37	ofrfval 6905	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ y : I --> NN0 ) -> ( y oR <_ F <-> A. x e. I ( y ` x ) <_ ( F ` x ) ) )
39	32, 38	bitr4d 271	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ y : I --> NN0 ) -> ( A. x e. I ( y ` x ) e. ( 0 ... ( F ` x ) ) <-> y oR <_ F ) )
40	2	psrbaglecl 19369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ ( F e. D /\ y : I --> NN0 /\ y oR <_ F ) ) -> y e. D )
41	40	3exp2 1285	. . . . . . . . 9 |- ( I e. V -> ( F e. D -> ( y : I --> NN0 -> ( y oR <_ F -> y e. D ) ) ) )
42	41	imp31 448	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ y : I --> NN0 ) -> ( y oR <_ F -> y e. D ) )
43	42	pm4.71rd 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ y : I --> NN0 ) -> ( y oR <_ F <-> ( y e. D /\ y oR <_ F ) ) )
44	21, 39, 43	3bitrrd 295	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ y : I --> NN0 ) -> ( ( y e. D /\ y oR <_ F ) <-> y e. X_ x e. I ( 0 ... ( F ` x ) ) ) )
45	44	ex 450	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> ( y : I --> NN0 -> ( ( y e. D /\ y oR <_ F ) <-> y e. X_ x e. I ( 0 ... ( F ` x ) ) ) ) )
46	7, 16, 45	pm5.21ndd 369	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> ( ( y e. D /\ y oR <_ F ) <-> y e. X_ x e. I ( 0 ... ( F ` x ) ) ) )
47	46	abbi1dv 2743	. . 3 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> { y | ( y e. D /\ y oR <_ F ) } = X_ x e. I ( 0 ... ( F ` x ) ) )
48	1, 47	syl5eq 2668	. 2 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> { y e. D | y oR <_ F } = X_ x e. I ( 0 ... ( F ` x ) ) )
49		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> F e. D )
50		cnveq 5296	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> `' f = `' F )
51	50	imaeq1d 5465	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( `' f " NN ) = ( `' F " NN ) )
52	51	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' F " NN ) e. Fin ) )
53	52, 2	elrab2 3366	. . . . 5 |- ( F e. D <-> ( F e. ( NN0 ^m I ) /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) )
54	49, 53	sylib 208	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> ( F e. ( NN0 ^m I ) /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) )
55	54	simprd 479	. . 3 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> ( `' F " NN ) e. Fin )
56		fzfid 12772	. . 3 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. I ) -> ( 0 ... ( F ` x ) ) e. Fin )
57		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> I e. V )
58	57, 26	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) )
59		frnnn0supp 11349	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F supp 0 ) = ( `' F " NN ) )
60		eqimss 3657	. . . . . . . 8 |- ( ( F supp 0 ) = ( `' F " NN ) -> ( F supp 0 ) C_ ( `' F " NN ) )
61	58, 59, 60	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> ( F supp 0 ) C_ ( `' F " NN ) )
62		c0ex 10034	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> 0 e. _V )
64	26, 61, 57, 63	suppssr 7326	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> ( F ` x ) = 0 )
65	64	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> ( 0 ... ( F ` x ) ) = ( 0 ... 0 ) )
66		fz0sn 12439	. . . . 5 |- ( 0 ... 0 ) = { 0 }
67	65, 66	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> ( 0 ... ( F ` x ) ) = { 0 } )
68		eqimss 3657	. . . 4 |- ( ( 0 ... ( F ` x ) ) = { 0 } -> ( 0 ... ( F ` x ) ) C_ { 0 } )
69	67, 68	syl 17	. . 3 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> ( 0 ... ( F ` x ) ) C_ { 0 } )
70	55, 56, 69	ixpfi2 8264	. 2 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> X_ x e. I ( 0 ... ( F ` x ) ) e. Fin )
71	48, 70	eqeltrd 2701	1 |- ( ( I e. V /\ F e. D ) -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oRcofr 6896   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955   0cc0 9936   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  gsumbagdiag  19376  psrass1lem  19377  psrmulcllem  19387  psrass1  19405  psrdi  19406  psrdir  19407  psrass23l  19408  psrcom  19409  psrass23  19410  resspsrmul  19417  mplsubrglem  19439  mplmonmul  19464  psropprmul  19608