Theorem eulerpartlemb 30430

Description: Lemma for eulerpart 30444. The set of all partitions of N is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	|- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
eulerpart.o	|- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
eulerpart.d	|- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
eulerpart.j	|- J = { z e. NN | -. 2 || z }
eulerpart.f	|- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
eulerpart.h	|- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
eulerpart.m	|- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemb	|- P e. Fin

Distinct variable groups:   f, g, k, x, y   f, N, g, x   P, g

Allowed substitution hints:   D( x, y, z, f, g, k, n, r)   P( x, y, z, f, k, n, r)   F( x, y, z, f, g, k, n, r)   H( x, y, z, f, g, k, n, r)   J( x, y, z, f, g, k, n, r)   M( x, y, z, f, g, k, n, r)   N( y, z, k, n, r)   O( x, y, z, f, g, k, n, r)

Proof of Theorem eulerpartlemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . . 4 |- ( T. -> ( 1 ... N ) e. Fin )
2		fzfi 12771	. . . . . 6 |- ( 0 ... N ) e. Fin
3		snfi 8038	. . . . . 6 |- { 0 } e. Fin
4	2, 3	keepel 4155	. . . . 5 |- if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) e. Fin
5	4	a1i 11	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. NN ) -> if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) e. Fin )
6		eldifn 3733	. . . . . 6 |- ( x e. ( NN \ ( 1 ... N ) ) -> -. x e. ( 1 ... N ) )
7	6	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( NN \ ( 1 ... N ) ) ) -> -. x e. ( 1 ... N ) )
8		iffalse 4095	. . . . 5 |- ( -. x e. ( 1 ... N ) -> if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) = { 0 } )
9		eqimss 3657	. . . . 5 |- ( if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) = { 0 } -> if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) C_ { 0 } )
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. ( NN \ ( 1 ... N ) ) ) -> if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) C_ { 0 } )
11	1, 5, 10	ixpfi2 8264	. . 3 |- ( T. -> X_ x e. NN if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) e. Fin )
12	11	trud 1493	. 2 |- X_ x e. NN if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) e. Fin
13		eulerpart.p	. . . . 5 |- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
14	13	eulerpartleme 30425	. . . 4 |- ( g e. P <-> ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) )
15		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( g : NN --> NN0 -> g Fn NN )
16	15	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) -> g Fn NN )
17		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ x e. NN ) -> ( g ` x ) e. NN0 )
18	17	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( g ` x ) e. NN0 )
19	18	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( g ` x ) e. RR )
20		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> x e. RR )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> x e. RR )
22	19, 21	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( ( g ` x ) x. x ) e. RR )
23		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( `' g " NN ) C_ dom g
24		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( g : NN --> NN0 -> dom g = NN )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) -> dom g = NN )
26	23, 25	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) -> ( `' g " NN ) C_ NN )
27	26	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ k e. ( `' g " NN ) ) -> k e. NN )
28		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ k e. NN ) -> ( g ` k ) e. NN0 )
29	28	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ k e. NN ) -> ( g ` k ) e. NN0 )
30	27, 29	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ k e. ( `' g " NN ) ) -> ( g ` k ) e. NN0 )
31	27	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ k e. ( `' g " NN ) ) -> k e. NN0 )
32	30, 31	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ k e. ( `' g " NN ) ) -> ( ( g ` k ) x. k ) e. NN0 )
33	32	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ k e. ( `' g " NN ) ) -> ( ( g ` k ) x. k ) e. CC )
34		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) -> g : NN --> NN0 )
35		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- NN e. _V
36		frnnn0supp 11349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( NN e. _V /\ g : NN --> NN0 ) -> ( g supp 0 ) = ( `' g " NN ) )
37	35, 36	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( g : NN --> NN0 -> ( g supp 0 ) = ( `' g " NN ) )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) -> ( g supp 0 ) = ( `' g " NN ) )
39		eqimss 3657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( g supp 0 ) = ( `' g " NN ) -> ( g supp 0 ) C_ ( `' g " NN ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) -> ( g supp 0 ) C_ ( `' g " NN ) )
41	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) -> NN e. _V )
42		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 e. NN0
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) -> 0 e. NN0 )
44	34, 40, 41, 43	suppssr 7326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ k e. ( NN \ ( `' g " NN ) ) ) -> ( g ` k ) = 0 )
45	44	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ k e. ( NN \ ( `' g " NN ) ) ) -> ( ( g ` k ) x. k ) = ( 0 x. k ) )
46		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( NN \ ( `' g " NN ) ) -> k e. NN )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ k e. ( NN \ ( `' g " NN ) ) ) -> k e. NN )
48		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN -> k e. CC )
49		mul02 10214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. CC -> ( 0 x. k ) = 0 )
50	47, 48, 49	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ k e. ( NN \ ( `' g " NN ) ) ) -> ( 0 x. k ) = 0 )
51	45, 50	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ k e. ( NN \ ( `' g " NN ) ) ) -> ( ( g ` k ) x. k ) = 0 )
52		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
53	52	eqimssi 3659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- NN C_ ( ZZ>= ` 1 )
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) -> NN C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
55	26, 33, 51, 54	sumss 14455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( `' g " NN ) ( ( g ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) )
56		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) -> ( `' g " NN ) e. Fin )
57	56, 32	fsumnn0cl 14467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( `' g " NN ) ( ( g ` k ) x. k ) e. NN0 )
58	55, 57	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) -> sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) e. NN0 )
59		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N -> ( sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) e. NN0 <-> N e. NN0 ) )
60	58, 59	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) -> ( sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N -> N e. NN0 ) )
61	60	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) -> N e. NN0 )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> N e. NN0 )
63	62	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> N e. RR )
64	18	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> 0 <_ ( g ` x ) )
65		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. NN -> 1 <_ x )
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> 1 <_ x )
67	19, 21, 64, 66	lemulge11d 10961	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( g ` x ) <_ ( ( g ` x ) x. x ) )
68	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ ( x e. NN /\ x e. ( `' g " NN ) ) ) -> ( `' g " NN ) e. Fin )
69	32	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ k e. ( `' g " NN ) ) -> ( ( g ` k ) x. k ) e. RR )
70	69	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ ( x e. NN /\ x e. ( `' g " NN ) ) ) /\ k e. ( `' g " NN ) ) -> ( ( g ` k ) x. k ) e. RR )
71	32	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ k e. ( `' g " NN ) ) -> 0 <_ ( ( g ` k ) x. k ) )
72	71	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ ( x e. NN /\ x e. ( `' g " NN ) ) ) /\ k e. ( `' g " NN ) ) -> 0 <_ ( ( g ` k ) x. k ) )
73		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = x -> ( g ` k ) = ( g ` x ) )
74		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = x -> k = x )
75	73, 74	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = x -> ( ( g ` k ) x. k ) = ( ( g ` x ) x. x ) )
76		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ ( x e. NN /\ x e. ( `' g " NN ) ) ) -> x e. ( `' g " NN ) )
77	68, 70, 72, 75, 76	fsumge1 14529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ ( x e. NN /\ x e. ( `' g " NN ) ) ) -> ( ( g ` x ) x. x ) <_ sum_ k e. ( `' g " NN ) ( ( g ` k ) x. k ) )
78	77	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ x e. NN ) -> ( x e. ( `' g " NN ) -> ( ( g ` x ) x. x ) <_ sum_ k e. ( `' g " NN ) ( ( g ` k ) x. k ) ) )
79		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( NN \ ( `' g " NN ) ) <-> ( x e. NN /\ -. x e. ( `' g " NN ) ) )
80	51	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) -> A. k e. ( NN \ ( `' g " NN ) ) ( ( g ` k ) x. k ) = 0 )
81	75	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = x -> ( ( ( g ` k ) x. k ) = 0 <-> ( ( g ` x ) x. x ) = 0 ) )
82	81	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. k e. ( NN \ ( `' g " NN ) ) ( ( g ` k ) x. k ) = 0 /\ x e. ( NN \ ( `' g " NN ) ) ) -> ( ( g ` x ) x. x ) = 0 )
83	80, 82	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ x e. ( NN \ ( `' g " NN ) ) ) -> ( ( g ` x ) x. x ) = 0 )
84	79, 83	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ ( x e. NN /\ -. x e. ( `' g " NN ) ) ) -> ( ( g ` x ) x. x ) = 0 )
85	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ x e. NN ) -> ( `' g " NN ) e. Fin )
86	32	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ x e. NN ) /\ k e. ( `' g " NN ) ) -> ( ( g ` k ) x. k ) e. NN0 )
87	86	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ x e. NN ) /\ k e. ( `' g " NN ) ) -> ( ( g ` k ) x. k ) e. RR )
88	86	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ x e. NN ) /\ k e. ( `' g " NN ) ) -> 0 <_ ( ( g ` k ) x. k ) )
89	85, 87, 88	fsumge0 14527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ x e. NN ) -> 0 <_ sum_ k e. ( `' g " NN ) ( ( g ` k ) x. k ) )
90	89	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ ( x e. NN /\ -. x e. ( `' g " NN ) ) ) -> 0 <_ sum_ k e. ( `' g " NN ) ( ( g ` k ) x. k ) )
91	84, 90	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ ( x e. NN /\ -. x e. ( `' g " NN ) ) ) -> ( ( g ` x ) x. x ) <_ sum_ k e. ( `' g " NN ) ( ( g ` k ) x. k ) )
92	91	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ x e. NN ) -> ( -. x e. ( `' g " NN ) -> ( ( g ` x ) x. x ) <_ sum_ k e. ( `' g " NN ) ( ( g ` k ) x. k ) ) )
93	78, 92	pm2.61d 170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ x e. NN ) -> ( ( g ` x ) x. x ) <_ sum_ k e. ( `' g " NN ) ( ( g ` k ) x. k ) )
94	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ x e. NN ) -> sum_ k e. ( `' g " NN ) ( ( g ` k ) x. k ) = sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) )
95	93, 94	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin ) /\ x e. NN ) -> ( ( g ` x ) x. x ) <_ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) )
96	95	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( ( g ` x ) x. x ) <_ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) )
97		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N )
98	96, 97	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( ( g ` x ) x. x ) <_ N )
99	19, 22, 63, 67, 98	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( g ` x ) <_ N )
100		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . 12 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
101	18, 100	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( g ` x ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
102	62	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> N e. ZZ )
103		elfz5 12334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g ` x ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( g ` x ) e. ( 0 ... N ) <-> ( g ` x ) <_ N ) )
104	101, 102, 103	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( ( g ` x ) e. ( 0 ... N ) <-> ( g ` x ) <_ N ) )
105	99, 104	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( g ` x ) e. ( 0 ... N ) )
106	105	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( g ` x ) e. ( 0 ... N ) )
107		iftrue 4092	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1 ... N ) -> if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) = ( 0 ... N ) )
108	107	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) = ( 0 ... N ) )
109	106, 108	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( g ` x ) e. if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) )
110		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g ` x ) e. NN -> 1 <_ ( g ` x ) )
111		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. NN -> x e. NN0 )
112	111	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> x e. NN0 )
113	112	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> 0 <_ x )
114		lemulge12 10886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. RR /\ ( g ` x ) e. RR ) /\ ( 0 <_ x /\ 1 <_ ( g ` x ) ) ) -> x <_ ( ( g ` x ) x. x ) )
115	114	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. RR /\ ( g ` x ) e. RR ) /\ 0 <_ x ) -> ( 1 <_ ( g ` x ) -> x <_ ( ( g ` x ) x. x ) ) )
116	21, 19, 113, 115	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( 1 <_ ( g ` x ) -> x <_ ( ( g ` x ) x. x ) ) )
117		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR /\ ( ( g ` x ) x. x ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( x <_ ( ( g ` x ) x. x ) /\ ( ( g ` x ) x. x ) <_ N ) -> x <_ N ) )
118	21, 22, 63, 117	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( ( x <_ ( ( g ` x ) x. x ) /\ ( ( g ` x ) x. x ) <_ N ) -> x <_ N ) )
119	98, 118	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( x <_ ( ( g ` x ) x. x ) -> x <_ N ) )
120	116, 119	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( 1 <_ ( g ` x ) -> x <_ N ) )
121	110, 120	syl5 34	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( ( g ` x ) e. NN -> x <_ N ) )
122		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> x e. NN )
123	122, 52	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
124		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ ) -> ( x e. ( 1 ... N ) <-> x <_ N ) )
125	123, 102, 124	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( x e. ( 1 ... N ) <-> x <_ N ) )
126	121, 125	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( ( g ` x ) e. NN -> x e. ( 1 ... N ) ) )
127	126	con3d 148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( -. x e. ( 1 ... N ) -> -. ( g ` x ) e. NN ) )
128		elnn0 11294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g ` x ) e. NN0 <-> ( ( g ` x ) e. NN \/ ( g ` x ) = 0 ) )
129	18, 128	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( ( g ` x ) e. NN \/ ( g ` x ) = 0 ) )
130	129	ord 392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( -. ( g ` x ) e. NN -> ( g ` x ) = 0 ) )
131	127, 130	syld 47	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( -. x e. ( 1 ... N ) -> ( g ` x ) = 0 ) )
132	131	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) /\ -. x e. ( 1 ... N ) ) -> ( g ` x ) = 0 )
133		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( g ` x ) e. _V
134	133	elsn 4192	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` x ) e. { 0 } <-> ( g ` x ) = 0 )
135	132, 134	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) /\ -. x e. ( 1 ... N ) ) -> ( g ` x ) e. { 0 } )
136	8	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) /\ -. x e. ( 1 ... N ) ) -> if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) = { 0 } )
137	135, 136	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) /\ -. x e. ( 1 ... N ) ) -> ( g ` x ) e. if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) )
138	109, 137	pm2.61dan 832	. . . . . 6 |- ( ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) /\ x e. NN ) -> ( g ` x ) e. if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) )
139	138	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) -> A. x e. NN ( g ` x ) e. if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) )
140		vex 3203	. . . . . 6 |- g e. _V
141	140	elixp 7915	. . . . 5 |- ( g e. X_ x e. NN if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) <-> ( g Fn NN /\ A. x e. NN ( g ` x ) e. if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) ) )
142	16, 139, 141	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( g : NN --> NN0 /\ ( `' g " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( g ` k ) x. k ) = N ) -> g e. X_ x e. NN if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) )
143	14, 142	sylbi 207	. . 3 |- ( g e. P -> g e. X_ x e. NN if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) )
144	143	ssriv 3607	. 2 |- P C_ X_ x e. NN if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } )
145		ssfi 8180	. 2 |- ( ( X_ x e. NN if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) e. Fin /\ P C_ X_ x e. NN if ( x e. ( 1 ... N ) , ( 0 ... N ) , { 0 } ) ) -> P e. Fin )
146	12, 144, 145	mp2an 708	1 |- P e. Fin

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

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