Theorem ldgenpisyslem3 30228

Description: Lemma for ldgenpisys 30229. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	|- P = { s e. ~P ~P O | ( fi ` s ) C_ s }
dynkin.l	|- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }
dynkin.o	|- ( ph -> O e. V )
ldgenpisys.e	|- E = |^| { t e. L | T C_ t }
ldgenpisys.1	|- ( ph -> T e. P )
ldgenpisyslem3.1	|- ( ph -> A e. T )

Assertion

Ref	Expression
ldgenpisyslem3	|- ( ph -> E C_ { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } )

Distinct variable groups:   t, s, x, y, L   O, s, t, x   t, P, x, y   L, s   T, s, t, x   ph, t, x   A, b, s, t, x, y   E, b, s, t, x, y   O, b, y   T, b, y   x, V   ph, b, y

Allowed substitution hints:   ph( s)   P( s, b)   L( b)   V( y, t, s, b)

Proof of Theorem ldgenpisyslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dynkin.p	. 2 |- P = { s e. ~P ~P O | ( fi ` s ) C_ s }
2		dynkin.l	. 2 |- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }
3		dynkin.o	. 2 |- ( ph -> O e. V )
4		ldgenpisys.e	. 2 |- E = |^| { t e. L | T C_ t }
5		ldgenpisys.1	. 2 |- ( ph -> T e. P )
6		id 22	. . . . . 6 |- ( T C_ t -> T C_ t )
7	6	rgenw 2924	. . . . 5 |- A. t e. L ( T C_ t -> T C_ t )
8		ssintrab 4500	. . . . 5 |- ( T C_ |^| { t e. L | T C_ t } <-> A. t e. L ( T C_ t -> T C_ t ) )
9	7, 8	mpbir 221	. . . 4 |- T C_ |^| { t e. L | T C_ t }
10	9, 4	sseqtr4i 3638	. . 3 |- T C_ E
11		ldgenpisyslem3.1	. . 3 |- ( ph -> A e. T )
12	10, 11	sseldi 3601	. 2 |- ( ph -> A e. E )
13	1	ispisys 30215	. . . . . . 7 |- ( T e. P <-> ( T e. ~P ~P O /\ ( fi ` T ) C_ T ) )
14	5, 13	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> ( T e. ~P ~P O /\ ( fi ` T ) C_ T ) )
15	14	simpld 475	. . . . 5 |- ( ph -> T e. ~P ~P O )
16		elpwi 4168	. . . . 5 |- ( T e. ~P ~P O -> T C_ ~P O )
17	15, 16	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> T C_ ~P O )
18	5	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. T ) -> T e. P )
19	11	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. T ) -> A e. T )
20		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. T ) -> b e. T )
21	1	inelpisys 30217	. . . . . . 7 |- ( ( T e. P /\ A e. T /\ b e. T ) -> ( A i^i b ) e. T )
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. T ) -> ( A i^i b ) e. T )
23	10, 22	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ph /\ b e. T ) -> ( A i^i b ) e. E )
24	23	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. b e. T ( A i^i b ) e. E )
25	17, 24	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( T C_ ~P O /\ A. b e. T ( A i^i b ) e. E ) )
26		ssrab 3680	. . 3 |- ( T C_ { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } <-> ( T C_ ~P O /\ A. b e. T ( A i^i b ) e. E ) )
27	25, 26	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> T C_ { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } )
28	1, 2, 3, 4, 5, 12, 27	ldgenpisyslem2 30227	1 |- ( ph -> E C_ { b e. ~P O | ( A i^i b ) e. E } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   ficfi 8316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  ldgenpisys  30229