Theorem ldgenpisys 30229

Description: The lambda system E generated by a pi-system T is also a pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	|- P = { s e. ~P ~P O | ( fi ` s ) C_ s }
dynkin.l	|- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }
dynkin.o	|- ( ph -> O e. V )
ldgenpisys.e	|- E = |^| { t e. L | T C_ t }
ldgenpisys.1	|- ( ph -> T e. P )

Assertion

Ref	Expression
ldgenpisys	|- ( ph -> E e. P )

Distinct variable groups:   t, s, x, y, L   O, s, t, x   t, P, x, y   L, s   T, s, t, x   ph, t, x   E, s, t, x, y   y, O   y, T   x, V   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( s)   P( s)   V( y, t, s)

Proof of Theorem ldgenpisys

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . . 4 |- { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) } C_ ~P ~P O
2		ldgenpisys.e	. . . . . 6 |- E = |^| { t e. L | T C_ t }
3		dynkin.l	. . . . . . 7 |- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }
4		dynkin.o	. . . . . . 7 |- ( ph -> O e. V )
5		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 |- { s e. ~P ~P O | ( fi ` s ) C_ s } C_ ~P ~P O
6		ldgenpisys.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T e. P )
7		dynkin.p	. . . . . . . . . 10 |- P = { s e. ~P ~P O | ( fi ` s ) C_ s }
8	6, 7	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T e. { s e. ~P ~P O | ( fi ` s ) C_ s } )
9	5, 8	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. ~P ~P O )
10	9	elpwid 4170	. . . . . . 7 |- ( ph -> T C_ ~P O )
11	3, 4, 10	ldsysgenld 30223	. . . . . 6 |- ( ph -> |^| { t e. L | T C_ t } e. L )
12	2, 11	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> E e. L )
13	12, 3	syl6eleq 2711	. . . 4 |- ( ph -> E e. { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) } )
14	1, 13	sseldi 3601	. . 3 |- ( ph -> E e. ~P ~P O )
15		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E ) ) -> b e. E )
16		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E ) ) -> a e. E )
17	4	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. E ) -> O e. V )
18	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. E ) -> T e. P )
19		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. E ) -> a e. E )
20	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ a e. E ) -> T C_ ~P O )
21	20	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. T ) -> b e. ~P O )
22		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b i^i a ) = ( a i^i b )
23	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. T ) -> O e. V )
24	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. T ) -> T e. P )
25		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. T ) -> b e. T )
26	7, 3, 23, 2, 24, 25	ldgenpisyslem3 30228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. T ) -> E C_ { c e. ~P O | ( b i^i c ) e. E } )
27		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. T ) -> a e. E )
28	26, 27	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. T ) -> a e. { c e. ~P O | ( b i^i c ) e. E } )
29		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c = a -> ( b i^i c ) = ( b i^i a ) )
30	29	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( c = a -> ( ( b i^i c ) e. E <-> ( b i^i a ) e. E ) )
31	30	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. { c e. ~P O | ( b i^i c ) e. E } <-> ( a e. ~P O /\ ( b i^i a ) e. E ) )
32	28, 31	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. T ) -> ( a e. ~P O /\ ( b i^i a ) e. E ) )
33	32	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. T ) -> ( b i^i a ) e. E )
34	22, 33	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. T ) -> ( a i^i b ) e. E )
35	21, 34	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. T ) -> ( b e. ~P O /\ ( a i^i b ) e. E ) )
36		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = b -> ( a i^i c ) = ( a i^i b ) )
37	36	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = b -> ( ( a i^i c ) e. E <-> ( a i^i b ) e. E ) )
38	37	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. { c e. ~P O | ( a i^i c ) e. E } <-> ( b e. ~P O /\ ( a i^i b ) e. E ) )
39	35, 38	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. T ) -> b e. { c e. ~P O | ( a i^i c ) e. E } )
40	39	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. E ) -> ( b e. T -> b e. { c e. ~P O | ( a i^i c ) e. E } ) )
41	40	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. E ) -> T C_ { c e. ~P O | ( a i^i c ) e. E } )
42	7, 3, 17, 2, 18, 19, 41	ldgenpisyslem2 30227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. E ) -> E C_ { c e. ~P O | ( a i^i c ) e. E } )
43	16, 42	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E ) ) -> E C_ { c e. ~P O | ( a i^i c ) e. E } )
44		ssrab 3680	. . . . . . . . 9 |- ( E C_ { c e. ~P O | ( a i^i c ) e. E } <-> ( E C_ ~P O /\ A. c e. E ( a i^i c ) e. E ) )
45	43, 44	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E ) ) -> ( E C_ ~P O /\ A. c e. E ( a i^i c ) e. E ) )
46	45	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E ) ) -> A. c e. E ( a i^i c ) e. E )
47	37	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( b e. E -> ( A. c e. E ( a i^i c ) e. E -> ( a i^i b ) e. E ) )
48	15, 46, 47	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E ) ) -> ( a i^i b ) e. E )
49	48	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ph -> A. a e. E A. b e. E ( a i^i b ) e. E )
50		inficl 8331	. . . . . 6 |- ( E e. L -> ( A. a e. E A. b e. E ( a i^i b ) e. E <-> ( fi ` E ) = E ) )
51	12, 50	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. a e. E A. b e. E ( a i^i b ) e. E <-> ( fi ` E ) = E ) )
52	49, 51	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( fi ` E ) = E )
53		eqimss 3657	. . . 4 |- ( ( fi ` E ) = E -> ( fi ` E ) C_ E )
54	52, 53	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( fi ` E ) C_ E )
55	14, 54	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( E e. ~P ~P O /\ ( fi ` E ) C_ E ) )
56	7	ispisys 30215	. 2 |- ( E e. P <-> ( E e. ~P ~P O /\ ( fi ` E ) C_ E ) )
57	55, 56	sylibr 224	1 |- ( ph -> E e. P )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   ficfi 8316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-siga 30171

This theorem is referenced by:  dynkin  30230