Theorem lgs0 25035

Description: The Legendre symbol when the second argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgs0	|- ( A e. ZZ -> ( A /L 0 ) = if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) )

Proof of Theorem lgs0

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11388	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt 0 ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt 0 ) ) , 1 ) )
3	2	lgsval 25026	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( A /L 0 ) = if ( 0 = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( 0 < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt 0 ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` 0 ) ) ) ) )
4	1, 3	mpan2 707	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A /L 0 ) = if ( 0 = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( 0 < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt 0 ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` 0 ) ) ) ) )
5		eqid 2622	. . 3 |- 0 = 0
6	5	iftruei 4093	. 2 |- if ( 0 = 0 , if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) , ( if ( ( 0 < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( if ( n = 2 , if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) , ( ( ( ( A ^ ( ( n - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod n ) - 1 ) ) ^ ( n pCnt 0 ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` 0 ) ) ) ) = if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 )
7	4, 6	syl6eq 2672	1 |- ( A e. ZZ -> ( A /L 0 ) = if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   7c7 11075   8c8 11076   ZZcz 11377   mod cmo 12668   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   || cdvds 14983   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   /Lclgs 25019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-seq 12802  df-lgs 25020

This theorem is referenced by:  lgsdir  25057  lgsne0  25060  lgsdinn0  25070