Theorem limsuppnflem 39942

Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its limsup is +oo. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsuppnflem.j	|- F/_ j F
limsuppnflem.a	|- ( ph -> A C_ RR )
limsuppnflem.f	|- ( ph -> F : A --> RR* )

Assertion

Ref	Expression
limsuppnflem	|- ( ph -> ( ( limsup ` F ) = +oo <-> A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, k, x   k, F, x   ph, j, k, x

Allowed substitution hint:   F( j)

Proof of Theorem limsuppnflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . 7 |- ( ph -> ph )
2		imnan 438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) <-> -. ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
3	2	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) <-> A. j e. A -. ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
4		ralnex 2992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. j e. A -. ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> -. E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
5	3, 4	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) <-> -. E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
6	5	rexbii 3041	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) <-> E. k e. RR -. E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
7		rexnal 2995	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. k e. RR -. E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> -. A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
8	6, 7	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) <-> -. A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
9	8	rexbii 3041	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) <-> E. x e. RR -. A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
10		rexnal 2995	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. RR -. A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> -. A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
11	9, 10	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) <-> -. A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
12	11	biimpri 218	. . . . . . 7 |- ( -. A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) -> E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) )
13		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ j e. A ) /\ ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) /\ k <_ j ) -> ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ j e. A ) )
14		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) -> ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) )
15	14	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) /\ k <_ j ) -> -. x <_ ( F ` j ) )
16	15	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ j e. A ) /\ ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) /\ k <_ j ) -> -. x <_ ( F ` j ) )
17		limsuppnflem.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : A --> RR* )
18	17	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( F ` j ) e. RR* )
19	18	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ j e. A ) -> ( F ` j ) e. RR* )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ j e. A ) /\ -. x <_ ( F ` j ) ) -> ( F ` j ) e. RR* )
21		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ j e. A ) -> x e. RR )
22		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ j e. A ) -> x e. RR* )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ j e. A ) /\ -. x <_ ( F ` j ) ) -> x e. RR* )
25		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) /\ -. x <_ ( F ` j ) ) -> -. x <_ ( F ` j ) )
26	18	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) /\ -. x <_ ( F ` j ) ) -> ( F ` j ) e. RR* )
27	22	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) /\ -. x <_ ( F ` j ) ) -> x e. RR* )
28	26, 27	xrltnled 39579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) /\ -. x <_ ( F ` j ) ) -> ( ( F ` j ) < x <-> -. x <_ ( F ` j ) ) )
29	25, 28	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) /\ -. x <_ ( F ` j ) ) -> ( F ` j ) < x )
30	29	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ j e. A ) /\ -. x <_ ( F ` j ) ) -> ( F ` j ) < x )
31	20, 24, 30	xrltled 39486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ j e. A ) /\ -. x <_ ( F ` j ) ) -> ( F ` j ) <_ x )
32	13, 16, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ j e. A ) /\ ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) /\ k <_ j ) -> ( F ` j ) <_ x )
33	32	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ j e. A ) -> ( ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) -> ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
34	33	ralimdva 2962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) -> ( A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) -> A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
35	34	reximdva 3017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) -> E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
36	35	reximdva 3017	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) -> E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
37	36	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) ) -> E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
38	1, 12, 37	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
39		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> RR e. _V )
41		limsuppnflem.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A C_ RR )
42	40, 41	ssexd 4805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. _V )
43	17, 42	fexd 39296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F e. _V )
44	43	limsupcld 39922	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( limsup ` F ) e. RR* )
45	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> ( limsup ` F ) e. RR* )
46	22	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> x e. RR* )
47		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . 11 |- +oo e. RR*
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> +oo e. RR* )
49		limsuppnflem.j	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j F
50	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> A C_ RR )
51	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> F : A --> RR* )
52		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
53	49, 50, 51, 46, 52	limsupbnd1f 39918	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> ( limsup ` F ) <_ x )
54		ltpnf 11954	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> x < +oo )
55	54	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> x < +oo )
56	45, 46, 48, 53, 55	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> ( limsup ` F ) < +oo )
57	56	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) -> ( limsup ` F ) < +oo ) )
58	57	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) -> ( limsup ` F ) < +oo ) )
59	58	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> ( limsup ` F ) < +oo )
60	38, 59	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> ( limsup ` F ) < +oo )
61	60	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( limsup ` F ) = +oo ) /\ -. A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> ( limsup ` F ) < +oo )
62		id 22	. . . . . . . 8 |- ( ( limsup ` F ) = +oo -> ( limsup ` F ) = +oo )
63	47	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( limsup ` F ) = +oo -> +oo e. RR* )
64	62, 63	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( limsup ` F ) = +oo -> ( limsup ` F ) e. RR* )
65	64, 62	xreqnltd 39618	. . . . . 6 |- ( ( limsup ` F ) = +oo -> -. ( limsup ` F ) < +oo )
66	65	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( limsup ` F ) = +oo ) -> -. ( limsup ` F ) < +oo )
67	66	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( limsup ` F ) = +oo ) /\ -. A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> -. ( limsup ` F ) < +oo )
68	61, 67	condan 835	. . 3 |- ( ( ph /\ ( limsup ` F ) = +oo ) -> A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
69	68	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) = +oo -> A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) )
70	41	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> A C_ RR )
71	17	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> F : A --> RR* )
72		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
73	49, 70, 71, 72	limsuppnfd 39934	. . 3 |- ( ( ph /\ A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) -> ( limsup ` F ) = +oo )
74	73	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) -> ( limsup ` F ) = +oo ) )
75	69, 74	impbid 202	1 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) = +oo <-> A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888   RRcr 9935   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   limsupclsp 14201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-ico 12181  df-limsup 14202

This theorem is referenced by:  limsuppnf  39943