Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupub Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem limsupub 39936
Description: If the limsup is not +oo, then the function is eventually bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupub.j |- F/ j ph
limsupub.e |- F/_ j F
limsupub.a |- ( ph -> A C_ RR )
limsupub.f |- ( ph -> F : A --> RR* )
limsupub.n |- ( ph -> ( limsup ` F ) =/= +oo )
Assertion
Ref Expression
limsupub |- ( ph -> E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
Distinct variable groups:   A, j, k, x   k, F, x   ph, k, x
Allowed substitution hints:   ph( j)   F( j)
Proof of Theorem limsupub
StepHypRef Expression
1 limsupub.e . . . . 5 |- F/_ j F
2 limsupub.a . . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
32adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) ) -> A C_ RR )
4 limsupub.f . . . . . 6 |- ( ph -> F : A --> RR* )
54adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) ) -> F : A --> RR* )
6 limsupub.j . . . . . . . . . 10 |- F/ j ph
7 nfv 1843 . . . . . . . . . 10 |- F/ j x e. RR
86, 7nfan 1828 . . . . . . . . 9 |- F/ j ( ph /\ x e. RR )
9 simprl 794 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) /\ ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) ) -> k <_ j )
10 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) /\ x < ( F ` j ) ) -> x e. RR )
11 rexr 10085 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) /\ x < ( F ` j ) ) -> x e. RR* )
134ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( F ` j ) e. RR* )
1413ad4ant13 1292 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) /\ x < ( F ` j ) ) -> ( F ` j ) e. RR* )
15 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) /\ x < ( F ` j ) ) -> x < ( F ` j ) )
1612, 14, 15xrltled 39486 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) /\ x < ( F ` j ) ) -> x <_ ( F ` j ) )
1716adantrl 752 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) /\ ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) ) -> x <_ ( F ` j ) )
189, 17jca 554 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) /\ ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) ) -> ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
1918ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) -> ( ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) -> ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) )
2019ex 450 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( j e. A -> ( ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) -> ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) ) )
218, 20reximdai 3012 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) -> E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) )
2221ralimdv 2963 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) -> A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) )
2322ralimdva 2962 . . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) -> A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) )
2423imp 445 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) ) -> A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
251, 3, 5, 24limsuppnfd 39934 . . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) ) -> ( limsup ` F ) = +oo )
26 limsupub.n . . . . . 6 |- ( ph -> ( limsup ` F ) =/= +oo )
2726neneqd 2799 . . . . 5 |- ( ph -> -. ( limsup ` F ) = +oo )
2827adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) ) -> -. ( limsup ` F ) = +oo )
2925, 28pm2.65da 600 . . 3 |- ( ph -> -. A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) )
30 imnan 438 . . . . . . . . 9 |- ( ( k <_ j -> -. x < ( F ` j ) ) <-> -. ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) )
3130ralbii 2980 . . . . . . . 8 |- ( A. j e. A ( k <_ j -> -. x < ( F ` j ) ) <-> A. j e. A -. ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) )
32 ralnex 2992 . . . . . . . 8 |- ( A. j e. A -. ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) <-> -. E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) )
3331, 32bitri 264 . . . . . . 7 |- ( A. j e. A ( k <_ j -> -. x < ( F ` j ) ) <-> -. E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) )
3433rexbii 3041 . . . . . 6 |- ( E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x < ( F ` j ) ) <-> E. k e. RR -. E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) )
35 rexnal 2995 . . . . . 6 |- ( E. k e. RR -. E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) <-> -. A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) )
3634, 35bitri 264 . . . . 5 |- ( E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x < ( F ` j ) ) <-> -. A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) )
3736rexbii 3041 . . . 4 |- ( E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x < ( F ` j ) ) <-> E. x e. RR -. A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) )
38 rexnal 2995 . . . 4 |- ( E. x e. RR -. A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) <-> -. A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) )
3937, 38bitri 264 . . 3 |- ( E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x < ( F ` j ) ) <-> -. A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) )
4029, 39sylibr 224 . 2 |- ( ph -> E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x < ( F ` j ) ) )
41 nfv 1843 . . . . . 6 |- F/ j k e. RR
428, 41nfan 1828 . . . . 5 |- F/ j ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR )
4313ad4ant14 1293 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ j e. A ) -> ( F ` j ) e. RR* )
44 simpllr 799 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ j e. A ) -> x e. RR )
4544rexrd 10089 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ j e. A ) -> x e. RR* )
4643, 45xrlenltd 10104 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ j e. A ) -> ( ( F ` j ) <_ x <-> -. x < ( F ` j ) ) )
4746imbi2d 330 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) /\ j e. A ) -> ( ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> ( k <_ j -> -. x < ( F ` j ) ) ) )
4842, 47ralbida 2982 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ k e. RR ) -> ( A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> A. j e. A ( k <_ j -> -. x < ( F ` j ) ) ) )
4948rexbidva 3049 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x < ( F ` j ) ) ) )
5049rexbidva 3049 . 2 |- ( ph -> ( E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x < ( F ` j ) ) ) )
5140, 50mpbird 247 1 |- ( ph -> E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888   RRcr 9935   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   limsupclsp 14201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-ico 12181  df-limsup 14202
This theorem is referenced by:  limsupubuz  39945
  Copyright terms: Public domain W3C validator