Theorem limsupubuz 39945

Description: For a real-valued function on a set of upper integers, if the superior limit is not +oo, then the function is bounded above. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupubuz.j	|- F/_ j F
limsupubuz.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
limsupubuz.f	|- ( ph -> F : Z --> RR )
limsupubuz.n	|- ( ph -> ( limsup ` F ) =/= +oo )

Assertion

Ref	Expression
limsupubuz	|- ( ph -> E. x e. RR A. j e. Z ( F ` j ) <_ x )

Distinct variable groups:   x, F   x, M   j, Z, x

Allowed substitution hints:   ph( x, j)   F( j)   M( j)

Proof of Theorem limsupubuz

Dummy variables i k l y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ l ph
2		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ l F
3		limsupubuz.z	. . . . . . . 8 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4		uzssre 39620	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
5	3, 4	eqsstri 3635	. . . . . . 7 |- Z C_ RR
6	5	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> Z C_ RR )
7		limsupubuz.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : Z --> RR )
8	7	frexr 39604	. . . . . 6 |- ( ph -> F : Z --> RR* )
9		limsupubuz.n	. . . . . 6 |- ( ph -> ( limsup ` F ) =/= +oo )
10	1, 2, 6, 8, 9	limsupub 39936	. . . . 5 |- ( ph -> E. y e. RR E. k e. RR A. l e. Z ( k <_ l -> ( F ` l ) <_ y ) )
11	10	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> E. y e. RR E. k e. RR A. l e. Z ( k <_ l -> ( F ` l ) <_ y ) )
12		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ l M e. ZZ
13	1, 12	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ l ( ph /\ M e. ZZ )
14		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ l y e. RR
15	13, 14	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ l ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ y e. RR )
16		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ l k e. RR
17	15, 16	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ l ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ y e. RR ) /\ k e. RR )
18		nfra1 2941	. . . . . . . . 9 |- F/ l A. l e. Z ( k <_ l -> ( F ` l ) <_ y )
19	17, 18	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ l ( ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ y e. RR ) /\ k e. RR ) /\ A. l e. Z ( k <_ l -> ( F ` l ) <_ y ) )
20		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ l ( l e. ( M ... if ( (⌈ ` k ) <_ M , M , (⌈ ` k ) ) ) |-> ( F ` l ) )
21	20	nfrn 5368	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ l ran ( l e. ( M ... if ( (⌈ ` k ) <_ M , M , (⌈ ` k ) ) ) |-> ( F ` l ) )
22		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ l RR
23		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ l <
24	21, 22, 23	nfsup 8357	. . . . . . . . . 10 |- F/_ l sup ( ran ( l e. ( M ... if ( (⌈ ` k ) <_ M , M , (⌈ ` k ) ) ) |-> ( F ` l ) ) , RR , < )
25		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ l <_
26		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ l y
27	24, 25, 26	nfbr 4699	. . . . . . . . 9 |- F/ l sup ( ran ( l e. ( M ... if ( (⌈ ` k ) <_ M , M , (⌈ ` k ) ) ) |-> ( F ` l ) ) , RR , < ) <_ y
28	27, 26, 24	nfif 4115	. . . . . . . 8 |- F/_ l if ( sup ( ran ( l e. ( M ... if ( (⌈ ` k ) <_ M , M , (⌈ ` k ) ) ) |-> ( F ` l ) ) , RR , < ) <_ y , y , sup ( ran ( l e. ( M ... if ( (⌈ ` k ) <_ M , M , (⌈ ` k ) ) ) |-> ( F ` l ) ) , RR , < ) )
29		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = i -> ( k <_ l <-> k <_ i ) )
30		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = i -> ( F ` l ) = ( F ` i ) )
31	30	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = i -> ( ( F ` l ) <_ y <-> ( F ` i ) <_ y ) )
32	29, 31	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = i -> ( ( k <_ l -> ( F ` l ) <_ y ) <-> ( k <_ i -> ( F ` i ) <_ y ) ) )
33	32	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. l e. Z ( k <_ l -> ( F ` l ) <_ y ) <-> A. i e. Z ( k <_ i -> ( F ` i ) <_ y ) )
34	33	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( A. l e. Z ( k <_ l -> ( F ` l ) <_ y ) -> A. i e. Z ( k <_ i -> ( F ` i ) <_ y ) )
35	34	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ y e. RR ) /\ k e. RR ) /\ A. l e. Z ( k <_ l -> ( F ` l ) <_ y ) ) -> A. i e. Z ( k <_ i -> ( F ` i ) <_ y ) )
36		simp-4r 807	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ y e. RR ) /\ k e. RR ) /\ A. i e. Z ( k <_ i -> ( F ` i ) <_ y ) ) -> M e. ZZ )
37	35, 36	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ y e. RR ) /\ k e. RR ) /\ A. l e. Z ( k <_ l -> ( F ` l ) <_ y ) ) -> M e. ZZ )
38	7	ad4antr 768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ y e. RR ) /\ k e. RR ) /\ A. i e. Z ( k <_ i -> ( F ` i ) <_ y ) ) -> F : Z --> RR )
39	35, 38	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ y e. RR ) /\ k e. RR ) /\ A. l e. Z ( k <_ l -> ( F ` l ) <_ y ) ) -> F : Z --> RR )
40		simpllr 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ y e. RR ) /\ k e. RR ) /\ A. i e. Z ( k <_ i -> ( F ` i ) <_ y ) ) -> y e. RR )
41	35, 40	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ y e. RR ) /\ k e. RR ) /\ A. l e. Z ( k <_ l -> ( F ` l ) <_ y ) ) -> y e. RR )
42		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ y e. RR ) /\ k e. RR ) /\ A. i e. Z ( k <_ i -> ( F ` i ) <_ y ) ) -> k e. RR )
43	35, 42	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ y e. RR ) /\ k e. RR ) /\ A. l e. Z ( k <_ l -> ( F ` l ) <_ y ) ) -> k e. RR )
44	33	biimpri 218	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. Z ( k <_ i -> ( F ` i ) <_ y ) -> A. l e. Z ( k <_ l -> ( F ` l ) <_ y ) )
45	35, 44	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ y e. RR ) /\ k e. RR ) /\ A. l e. Z ( k <_ l -> ( F ` l ) <_ y ) ) -> A. l e. Z ( k <_ l -> ( F ` l ) <_ y ) )
46		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- if ( (⌈ ` k ) <_ M , M , (⌈ ` k ) ) = if ( (⌈ ` k ) <_ M , M , (⌈ ` k ) )
47		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- sup ( ran ( l e. ( M ... if ( (⌈ ` k ) <_ M , M , (⌈ ` k ) ) ) |-> ( F ` l ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( l e. ( M ... if ( (⌈ ` k ) <_ M , M , (⌈ ` k ) ) ) |-> ( F ` l ) ) , RR , < )
48		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- if ( sup ( ran ( l e. ( M ... if ( (⌈ ` k ) <_ M , M , (⌈ ` k ) ) ) |-> ( F ` l ) ) , RR , < ) <_ y , y , sup ( ran ( l e. ( M ... if ( (⌈ ` k ) <_ M , M , (⌈ ` k ) ) ) |-> ( F ` l ) ) , RR , < ) ) = if ( sup ( ran ( l e. ( M ... if ( (⌈ ` k ) <_ M , M , (⌈ ` k ) ) ) |-> ( F ` l ) ) , RR , < ) <_ y , y , sup ( ran ( l e. ( M ... if ( (⌈ ` k ) <_ M , M , (⌈ ` k ) ) ) |-> ( F ` l ) ) , RR , < ) )
49	19, 28, 37, 3, 39, 41, 43, 45, 46, 47, 48	limsupubuzlem 39944	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ y e. RR ) /\ k e. RR ) /\ A. l e. Z ( k <_ l -> ( F ` l ) <_ y ) ) -> E. x e. RR A. l e. Z ( F ` l ) <_ x )
50	49	exp31 630	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ y e. RR ) -> ( k e. RR -> ( A. l e. Z ( k <_ l -> ( F ` l ) <_ y ) -> E. x e. RR A. l e. Z ( F ` l ) <_ x ) ) )
51	50	rexlimdv 3030	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ y e. RR ) -> ( E. k e. RR A. l e. Z ( k <_ l -> ( F ` l ) <_ y ) -> E. x e. RR A. l e. Z ( F ` l ) <_ x ) )
52	51	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( E. y e. RR E. k e. RR A. l e. Z ( k <_ l -> ( F ` l ) <_ y ) -> E. x e. RR A. l e. Z ( F ` l ) <_ x ) )
53	11, 52	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> E. x e. RR A. l e. Z ( F ` l ) <_ x )
54	3	a1i 11	. . . . . 6 |- ( -. M e. ZZ -> Z = ( ZZ>= ` M ) )
55		uz0 39639	. . . . . 6 |- ( -. M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) = (/) )
56	54, 55	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( -. M e. ZZ -> Z = (/) )
57		0red 10041	. . . . . 6 |- ( Z = (/) -> 0 e. RR )
58		rzal 4073	. . . . . 6 |- ( Z = (/) -> A. l e. Z ( F ` l ) <_ 0 )
59		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( ( F ` l ) <_ x <-> ( F ` l ) <_ 0 ) )
60	59	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( A. l e. Z ( F ` l ) <_ x <-> A. l e. Z ( F ` l ) <_ 0 ) )
61	60	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ A. l e. Z ( F ` l ) <_ 0 ) -> E. x e. RR A. l e. Z ( F ` l ) <_ x )
62	57, 58, 61	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( Z = (/) -> E. x e. RR A. l e. Z ( F ` l ) <_ x )
63	56, 62	syl 17	. . . 4 |- ( -. M e. ZZ -> E. x e. RR A. l e. Z ( F ` l ) <_ x )
64	63	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> E. x e. RR A. l e. Z ( F ` l ) <_ x )
65	53, 64	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR A. l e. Z ( F ` l ) <_ x )
66		limsupubuz.j	. . . . . 6 |- F/_ j F
67		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ j l
68	66, 67	nffv 6198	. . . . 5 |- F/_ j ( F ` l )
69		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ j <_
70		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ j x
71	68, 69, 70	nfbr 4699	. . . 4 |- F/ j ( F ` l ) <_ x
72		nfv 1843	. . . 4 |- F/ l ( F ` j ) <_ x
73		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( l = j -> ( F ` l ) = ( F ` j ) )
74	73	breq1d 4663	. . . 4 |- ( l = j -> ( ( F ` l ) <_ x <-> ( F ` j ) <_ x ) )
75	71, 72, 74	cbvral 3167	. . 3 |- ( A. l e. Z ( F ` l ) <_ x <-> A. j e. Z ( F ` j ) <_ x )
76	75	rexbii 3041	. 2 |- ( E. x e. RR A. l e. Z ( F ` l ) <_ x <-> E. x e. RR A. j e. Z ( F ` j ) <_ x )
77	65, 76	sylib 208	1 |- ( ph -> E. x e. RR A. j e. Z ( F ` j ) <_ x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ⌈cceil 12592   limsupclsp 14201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fl 12593  df-ceil 12594  df-limsup 14202

This theorem is referenced by:  limsupubuzmpt  39951  limsupvaluz2  39970  supcnvlimsup  39972