Theorem lmbr3 39979

Description: Express the binary relation "sequence F converges to point P " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmbr3.1	|- F/_ k F
lmbr3.2	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
lmbr3	|- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, F, u   u, J   u, P   j, k, u

Allowed substitution hints:   ph( u, j, k)   P( j, k)   F( k)   J( j, k)   X( u, j, k)

Proof of Theorem lmbr3

Dummy variables i l v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr3.2	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2	1	lmbr3v 39977	. 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. v e. J ( P e. v -> E. i e. ZZ A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( l e. dom F /\ ( F ` l ) e. v ) ) ) ) )
3		eleq2w 2685	. . . . 5 |- ( v = u -> ( P e. v <-> P e. u ) )
4		eleq2w 2685	. . . . . . . 8 |- ( v = u -> ( ( F ` l ) e. v <-> ( F ` l ) e. u ) )
5	4	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( v = u -> ( ( l e. dom F /\ ( F ` l ) e. v ) <-> ( l e. dom F /\ ( F ` l ) e. u ) ) )
6	5	rexralbidv 3058	. . . . . 6 |- ( v = u -> ( E. i e. ZZ A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( l e. dom F /\ ( F ` l ) e. v ) <-> E. i e. ZZ A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( l e. dom F /\ ( F ` l ) e. u ) ) )
7		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ZZ>= ` i ) = ( ZZ>= ` j ) )
8	7	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( l e. dom F /\ ( F ` l ) e. u ) <-> A. l e. ( ZZ>= ` j ) ( l e. dom F /\ ( F ` l ) e. u ) ) )
9		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k l
10		lmbr3.1	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k F
11	10	nfdm 5367	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k dom F
12	9, 11	nfel 2777	. . . . . . . . . 10 |- F/ k l e. dom F
13	10, 9	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( F ` l )
14		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k u
15	13, 14	nfel 2777	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( F ` l ) e. u
16	12, 15	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( l e. dom F /\ ( F ` l ) e. u )
17		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ l ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u )
18		eleq1w 2684	. . . . . . . . . 10 |- ( l = k -> ( l e. dom F <-> k e. dom F ) )
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( l = k -> ( F ` l ) = ( F ` k ) )
20	19	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( l = k -> ( ( F ` l ) e. u <-> ( F ` k ) e. u ) )
21	18, 20	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( l = k -> ( ( l e. dom F /\ ( F ` l ) e. u ) <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
22	16, 17, 21	cbvral 3167	. . . . . . . 8 |- ( A. l e. ( ZZ>= ` j ) ( l e. dom F /\ ( F ` l ) e. u ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) )
23	8, 22	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( l e. dom F /\ ( F ` l ) e. u ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
24	23	cbvrexv 3172	. . . . . 6 |- ( E. i e. ZZ A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( l e. dom F /\ ( F ` l ) e. u ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) )
25	6, 24	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( v = u -> ( E. i e. ZZ A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( l e. dom F /\ ( F ` l ) e. v ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
26	3, 25	imbi12d 334	. . . 4 |- ( v = u -> ( ( P e. v -> E. i e. ZZ A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( l e. dom F /\ ( F ` l ) e. v ) ) <-> ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
27	26	cbvralv 3171	. . 3 |- ( A. v e. J ( P e. v -> E. i e. ZZ A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( l e. dom F /\ ( F ` l ) e. v ) ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
28	27	3anbi3i 1255	. 2 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. v e. J ( P e. v -> E. i e. ZZ A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( l e. dom F /\ ( F ` l ) e. v ) ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
29	2, 28	syl6bb 276	1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  TopOnctopon 20715   ~~> tclm 21030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-top 20699  df-topon 20716  df-lm 21033

This theorem is referenced by:  xlimbr  40053  xlimmnfvlem1  40058  xlimmnfvlem2  40059  xlimpnfvlem1  40062  xlimpnfvlem2  40063